Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 30 завдання

Продолжаем решать тестовые задания пробного ЗНО 2013.

Задание №30

У прямокутній трапеції $$ABCD\;(AD\parallel BC)$$ діагональ $$AC$$ перпендикулярна до бічної сторони $$CD.$$ Знайдіть довжину цієї діагоналі (у см), якщо $$AD=18$$ см, $$BC=8$$ см.

Решение:

Из вершины $$C$$ опустим перпендикуляр на основание $$AD$$ (см. рисунок).

Получили $$AB=EC,$$ $$AE=BC=8$$ см, тогда $$ED=AD-AE=18-8=10$$ см.

Рассмотрим три прямоугольных треугольника: $$\triangle ACD,$$ $$\triangle CED$$ и $$\triangle AEC.$$

По теореме Пифагора для каждого треугольника получим:

$$\left\{\begin{matrix}AC^2=AD^2-CD^2&(1)\\ CD^2=CE^2+ED^2&(2)\\ CE^2=AC^2-AE^2&(3)\end{matrix}\right.$$

Подставим $$(3)$$ в $$(2),$$ затем полученный результат подставим в $$(1).$$

$$AC^2=AD^2-((AC^2-AE^2)+ED^2)$$

$$AC^2=AD^2-AC^2+AE^2-ED^2$$

$$2AC^2=AD^2+AE^2-ED^2$$

$$AC^2=\frac{1}{2}\cdot(AD^2+AE^2-ED^2)$$

$$AC=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(AD^2+AE^2-ED^2)}$$

Подставим значения. Выполним элементарные преобразования и воспользуемся свойствами корней и степеней.

$$AC=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot(18^2+8^2-10^2)}=\sqrt{18\cdot9+8\cdot4-10\cdot5}=\sqrt{18\cdot9+32-50}=\sqrt{18\cdot9-18}=$$

$$=\sqrt{18\cdot(9-1)}=\sqrt{18\cdot8}=\sqrt{3^2\cdot2\cdot2^3}=\sqrt{3^2\cdot4^2}=3\cdot4=12.$$

Длина диагонали $$AC$$ равна 12 см.

Ответ: 12.

Другие задания ПЗНО: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 31; 32; 33.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.