Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на геометрический смысл определенного интеграла.
Задание №31
У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $$y=\frac{x^3}{2}+x$$ і пряму, задану рівнянням $$x=a$$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $$a$$ площа заштрихованої фігури дорівнюватиме 40 кв. од.?
Решение:
Первая часть задания сводится к нахождению определенного интеграла $$\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx$$ (предлагаем вспомнить геометрический смысл).
При решении будем пользоваться свойствами, таблицей основных неопределенных интегралов и формулой Ньютона-Лейбница
$$S=\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx=\left (\frac{x^4}{8}+\frac{x^2}{2}\right )|_{0}^{a}=\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}.$$
Приступим ко второй части: найдем значение параметра $$a >0,$$ при котором площадь заштрихованной фигуры равна 40 кв. ед.
$$\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}=40$$
$$a^4+4a^2-320=0$$
Получили биквадратное уравнение, которое сводится к квадратному заменой $$a^2=t >0.$$
$$t^2+4t-320=0$$
По теореме Виета: $$t_1=16, t_2=-20$$ (посторонний корень)
Обратная замена $$a^2=16\Rightarrow a=4$$ (учли $$a >0$$).
Ответ: 4.
Другие задания ПЗНО: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 32; 33.