Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 31 завдання

Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на  геометрический смысл определенного интеграла.

Задание №31

У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $$y=\frac{x^3}{2}+x$$  і пряму, задану рівнянням $$x=a$$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $$a$$ площа заштрихованої фігури дорівнюватиме 40 кв. од.?

Решение:

Первая часть задания сводится к нахождению определенного интеграла $$\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx$$ (предлагаем вспомнить геометрический смысл).

При решении будем пользоваться свойствами, таблицей основных неопределенных интегралов и формулой Ньютона-Лейбница

$$S=\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx=\left (\frac{x^4}{8}+\frac{x^2}{2}\right )|_{0}^{a}=\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}.$$

Приступим ко второй части: найдем значение параметра $$a >0,$$ при котором площадь заштрихованной фигуры равна 40 кв. ед.

$$\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}=40$$

$$a^4+4a^2-320=0$$

Получили биквадратное уравнение, которое сводится к квадратному заменой $$a^2=t >0.$$

$$t^2+4t-320=0$$

По теореме Виета: $$t_1=16, t_2=-20$$ (посторонний корень)

Обратная замена $$a^2=16\Rightarrow a=4$$ (учли $$a >0$$).

Ответ: 4.

Другие задания ПЗНО: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 32; 33.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

32 задание ЗНО 2014

Решение 32 задания ЗНО 2014 по математике..

19 задание пробного ЗНО 2015

Решение 19 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 33 задание...