Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого шагом или разностью арифметической прогрессии.

$$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n},\ldots$$ — арифметическая прогрессия.

$$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность прогрессии, $$a_n$$ — общий член ($$n$$- й член) арифметической прогрессии, $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии.

$$d=a_{2}-a_{1}=\ldots=a_{n}-a_{n-1}=\ldots$$

$$a_{n}=a_{1}+d\cdot (n-1)$$

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\geqslant 2$$

$$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$$

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть произведение предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого знаменателем геометрической прогрессии. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии не равны нулю.

$$b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$ — геометрическая прогрессия.

$$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии, $$b_n$$ — общий ($$n$$- й) член геометрической прогрессии, $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии.

$$q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\ldots=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\ldots, b_{1}\neq0$$

$$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$

$$|b_{n}|=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, n\geqslant 2$$

$$b_{1}b_{n}=b_{2}b_{n-1}=\ldots$$

$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}$$

$$S_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{b_{1}(q^n-1)}{q-1} ,&q>1 \\ \frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q},&q<1\\ nb_{1},&q=1 \end{matrix}\right.$$

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия со знаменателем, абсолютная величина которого меньше единицы.

$$|q|<1,\; b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n},\ldots$$  — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

$$S$$ — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
$$S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n},\; S=\lim\limits_{n \to \infty }S_{n}$$

$$S=\frac{b_{1}}{1-q}$$

Проверьте свои знания по теме «Прогрессии» в бесплатном онлайн тесте.

Поделиться

Больше материалов

Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основные формулы тригонометрических функций одного аргумента. Связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом...

Графики обратных тригонометрических функций

Обратными тригонометрическими функциями называются функции $$y=arcsin x,$$ $$y=arccos x,$$ $$y=text{arctg}x,$$ $$y=text{arcctg}x.$$ График арксинуса $$y=arcsin x$$

Множина. Підмножина. Операції. Круги Ейлера-Венна

Множина Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці множини —...

Некоторые формулы арифметики

Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Проценты. Бесконечная периодическая десятичная дробь.

Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для острых углов, на единичной окружности. Знаки тригонометрических функций.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..