Производная неявной функции

Производная неявной функции

Неявная функция определяется соотношением $$F(x;y)=0,$$ где $$y=f(x).$$

Алгоритм для нахождения производной неявной функции

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать обе части уравнения, рассматривая $$y,$$ как функцию от переменной $$x$$, а затем, полученное для $$y^{\prime}$$ уравнение, решить относительно $$y^{\prime}$$.

Дифференцирование неявных функций проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Примеры

Пример 1

$$x^2-\ln y +\sqrt{xy}=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$2x-\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot(y+xy^{\prime})=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y} \right )=-2x-\frac{y}{2\sqrt{xy}}$$

$$y^{\prime}=-\frac{2x+\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y}}$$

$$y^{\prime}=\frac{4x\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{x}-x\sqrt{y}}$$

Пример 2

$$x\sin y-y\cos x=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\sin y+x\cos y\cdot y^{\prime}-y^{\prime}\cos x+y\sin x=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{\sin y+y\sin x}{\cos x-x\cos y}$$

Пример 3

$$e^x+e^{-y}+xy=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$e^x-e^{-y}\cdot y^{\prime}+y+xy^{\prime}=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{e^x+y}{e^{-y}-x}$$

Пример 4

$$\ln y=\arcsin\frac{x}{y}$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^2}}\cdot\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{1}{y}+\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{\sqrt{y^2-x^2}+x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}+x}$$

Поделиться

Больше материалов

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння,...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...