Производная неявной функции

Производная неявной функции

Неявная функция определяется соотношением $$F(x;y)=0,$$ где $$y=f(x).$$

Алгоритм для нахождения производной неявной функции

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать обе части уравнения, рассматривая $$y,$$ как функцию от переменной $$x$$, а затем, полученное для $$y^{\prime}$$ уравнение, решить относительно $$y^{\prime}$$.

Дифференцирование неявных функций проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Примеры

Пример 1

$$x^2-\ln y +\sqrt{xy}=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$2x-\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot(y+xy^{\prime})=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y} \right )=-2x-\frac{y}{2\sqrt{xy}}$$

$$y^{\prime}=-\frac{2x+\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y}}$$

$$y^{\prime}=\frac{4x\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{x}-x\sqrt{y}}$$

Пример 2

$$x\sin y-y\cos x=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\sin y+x\cos y\cdot y^{\prime}-y^{\prime}\cos x+y\sin x=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{\sin y+y\sin x}{\cos x-x\cos y}$$

Пример 3

$$e^x+e^{-y}+xy=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$e^x-e^{-y}\cdot y^{\prime}+y+xy^{\prime}=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{e^x+y}{e^{-y}-x}$$

Пример 4

$$\ln y=\arcsin\frac{x}{y}$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^2}}\cdot\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{1}{y}+\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{\sqrt{y^2-x^2}+x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}+x}$$

Поделиться

Больше материалов

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як матриця $$A$$ розмірності $$(ntimes m)$$, де $$n$$ - кількість рядків,...

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...