Производная неявной функции

Производная неявной функции

Неявная функция определяется соотношением $$F(x;y)=0,$$ где $$y=f(x).$$

Алгоритм для нахождения производной неявной функции

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать обе части уравнения, рассматривая $$y,$$ как функцию от переменной $$x$$, а затем, полученное для $$y^{\prime}$$ уравнение, решить относительно $$y^{\prime}$$.

Дифференцирование неявных функций проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Примеры

Пример 1

$$x^2-\ln y +\sqrt{xy}=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$2x-\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot(y+xy^{\prime})=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y} \right )=-2x-\frac{y}{2\sqrt{xy}}$$

$$y^{\prime}=-\frac{2x+\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y}}$$

$$y^{\prime}=\frac{4x\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{x}-x\sqrt{y}}$$

Пример 2

$$x\sin y-y\cos x=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\sin y+x\cos y\cdot y^{\prime}-y^{\prime}\cos x+y\sin x=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{\sin y+y\sin x}{\cos x-x\cos y}$$

Пример 3

$$e^x+e^{-y}+xy=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$e^x-e^{-y}\cdot y^{\prime}+y+xy^{\prime}=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{e^x+y}{e^{-y}-x}$$

Пример 4

$$\ln y=\arcsin\frac{x}{y}$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^2}}\cdot\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{1}{y}+\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{\sqrt{y^2-x^2}+x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}+x}$$

Поделиться

Больше материалов

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої $$left{begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{matrix}right.$$ -...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$vec{a}"$$ на вектор, який...

Материалы по теме

Задание №20 ЗНО 2014

Решение 20 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 18 задание

Найдите производную функции $$y=e^{-2x}.$$ А. $$y$$'$$=e^{-2x}$$

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 31 задание

На рисунку зображено графік функції $$F(x)=x^2+bx+c,$$ яка є первісною для функції $$f(x).$$...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Производная сложной функции

Определение Сложная функция – это функция (внешняя функция),...

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$...

Задание 12 (нахождение производных)

Найти производную Перед тем, как приступить к решению задания,...