Пропорции. Модуль действительного числа

Пропорции

Пропорция [лат. proportio — доля] — равенство двух отношений, т. е. равенство вида $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ где $$a, d$$ — крайние члены, $$b, c$$ — средние члены пропорции.

Основные свойства пропорции:

  1. Произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции: $$ad=bc.$$
  2. Перестановка членов пропорции: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, \frac{d}{b}=\frac{c}{a}, \frac{a}{c}=\frac{b}{d}, \frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$$
  3. Увеличение, уменьшение, составление пропорции сложением и вычитанием: $$\frac{a\pm b}{a}=\frac{c\pm d}{c}, \frac{a\pm c}{b\pm d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Модуль

Модуль [абсолютная величина] действительного числа $$a$$ — неотрицательное число, определение которого зависит от типа этого числа $$a$$ и обозначается $$|a|.$$

$$|a|=\left[\begin{matrix} a ,& a\geqslant 0\\ -a, & a<0 \end{matrix}\right.$$

С геометрической точки зрения, модуль действительного числа — расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует это число.

Значит $$|a|\geqslant 0,$$ $$|a|= 0\Leftrightarrow a=0$$

Следствия: $$|-a|= |a|, a\leqslant |a|, -a\leqslant|a|,-|a|\leqslant a,-|a|\leqslant a \leqslant |a|.$$

Свойства модуля:

1. $$|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$$

2. $$\left |\frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}, b\neq 0$$

3. $$|a+b|\leqslant |a|+|b|$$

4. $$|a-b|\leqslant |a|+|b|$$

5. $$|a|-|b|\leqslant |a+b|$$

6. $$|a+b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$

7. $$|a-b|\geqslant \left | |a|-|b| \right |$$

Поделиться

Больше материалов

Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов: Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности: $$sin x+sin...

Формулы сокращенного умножения

В роли $$a$$ и $$b$$ могут выступать любые выражения. Формулы Разность квадратов двух выражений равна...

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Прежде, чем приступать к запоминанию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов, предлагаем вспомнить определение тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для острых углов, на единичной окружности. Знаки тригонометрических функций.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..
Предыдущий материалНОД и НОК чисел
Следующий материалПрогрессии