Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Предлагаем вспомнить материал по теме: Многочлены

Теорема

Если многочлен $$\text{P}_{n}(x)=\text{a}_{n}x^n+\text{a}_{n-1}x^{n-1}+$$…$$+\text{a}_{2}x^2+\text{a}_{1}x+\text{a}_0$$ с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $$x_0=\frac{p}{q},$$ то число $$p$$ является делителем числа $$\text{a}_{0}$$ (свободного члена), а число $$q$$ является делителем числа $$\text{a}_n$$ (старшего коэффициента).

Пример

Найти рациональные корни многочлена $$4x^4-16x^3+3x^2+4x-1=0.$$

Решение

Рациональные корни уравнения, если они есть, находятся среди чисел: $$\pm\frac{1}{2};\pm\frac{1}{4}.$$

Осталось лишь проверить, подстановкой в исходное уравнение:

$$P(\frac{1}{2})=4\cdot(\frac{1}{2})^4-16\cdot(\frac{1}{2})^3+3\cdot(\frac{1}{2})^2+4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}-2+\frac{3}{4}+2-1=0$$

$$P(-\frac{1}{2})=4\cdot(-\frac{1}{2})^4-16\cdot(-\frac{1}{2})^3+3\cdot(-\frac{1}{2})^2-4\cdot\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}+2+\frac{3}{4}-2-1=0$$

$$P(\frac{1}{4})=4\cdot(\frac{1}{4})^4-16\cdot(\frac{1}{4})^3+3\cdot(\frac{1}{4})^2+4\cdot\frac{1}{4}-1=\frac{1}{64}-\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+1-1\neq0$$

$$P(-\frac{1}{4})=4\cdot(-\frac{1}{4})^4-16\cdot(-\frac{1}{4})^3+3\cdot(-\frac{1}{4})^2-4\cdot\frac{1}{4}-1\neq0$$

Т.о., нашли два рациональных корня $$x_1=\frac{1}{2}$$ и $$x_2=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\pm\frac{1}{2}$$

Поделиться

Больше материалов

Основные неопределенные интегралы

Определения неопределенного интеграла и первообразной. 16 основных неопределенных интегралов..

Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для острых углов, на единичной окружности. Знаки тригонометрических функций.

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида $$y=a^x$$ $$(a > 0, aneq1).$$ Функция определена при любом $$x,$$ т.е. область определения показательной...

Значения обратных тригонометрических функций

Рекомендуем ознакомиться со свойствами обратных тригонометрических функций и решением простейших тригонометрических уравнений. Также будет полезно ознакомиться с материалами раздела...

Теоремы синусов и косинусов

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. $$frac{a}{sinalpha}=frac{b}{sinbeta}=frac{c}{singamma}=2R$$

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..