Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює $$R$$. Канонічне рівняння кола з центром в точці $$C(a,b)$$ і радіусом $$R$$ має вид $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$$

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто $$a=b=0$$, то рівняння кола приймає найпростіший вид $$x^2+y^2=R^2.$$

Еліпс

Еліпс має форму опуклої замкненої кривої (див. рисунок). Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок $$F_1$$ і $$F_2$$ (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають $$2a$$, відстань між фокусами $$F_1F_2=2c$$, причому $$2a>2c\;(a>c)$$. Якщо вибрати систему координат так, що вісь $$OX$$ проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вид:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;(a^2=b^2+c^2,\;a>b).$$

В цьому випадку фокуси еліпса мають координати $$F_1(-c;0),\;F_2(c;0)$$. Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини ($$A_1$$ і $$A_2$$ – ліва і права відповідно, $$B_1$$ і $$B_2$$ – верхня і нижня відповідно). $$OA_1=OA_2=a$$ називаються великими півосями еліпса, $$OB_1=OB_2=b$$ – малими півосями еліпса. У випадку, коли $$OA_1=OA_2=b,\;OB_1=OB_2=a,\;a>b$$, рівняння еліпса набуває виду $$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$$.

Розглядується величина $$\varepsilon =\frac{2c}{2a}<1$$ (ексцентриситет), яка характеризує форму еліпса. Оскільки $$\varepsilon =\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\left (\frac{b}{a} \right )^2}$$, то можна заключити, що при $$\frac{b}{a}\rightarrow 0$$ сплющеність еліпса збільшується, $$\varepsilon$$ еліпса прямує до одиниці, залишаючись меншим від неї. У випадку $$\frac{b}{a}\rightarrow 1$$ форма еліпса наближається до форми кола, ексцентриситет $$\varepsilon\rightarrow 0$$.

Поделиться

Больше материалов

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої $$left{begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{matrix}right.$$ -...

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння,...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на...

Материалы по теме

Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у...

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування...

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне...

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости...

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і...

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду.

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло;...

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку Загальне рівняння лінії...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із...