Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц.

Основні означення

Система, що не має розв’язку, називається несумісною.

Система, що має хоча б одне рішення, називається сумісною. Сумісна система може мати одне або кілька рішень.

Система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною.

Система, що має кілька розв’язків, називається невизначеною.

Розв’язування систем неоднорідних рівнянь

В практиці розв’язування систем неоднорідних рівнянь застосовуються методи Гауса, Крамера та оберненої матриці.

Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь складається із двох кроків: в першому із них система шляхом виключення невідомих (першого – із другого рівняння, першого і другого – із третього зводиться до трикутникового виду). У другому кроці із третього рівняння знаходимо третє невідоме, а із другого (після підстановки в нього значення третього невідомого) знаходимо друге невідоме. І, нарешті, із першого рівняння (після підстановки в нього значень другого і третього невідомих) знаходимо значення першого невідомого.

При розв’язуванні системи за формулами Крамера (методом Крамера) припускається, що визначник системи, укладений із коефіцієнтів при невідомих, не дорівнює нулю. Тоді корені системи знаходимо за формулами, які називаються формулами Крамера.

$$x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta}, (i=\overline{1,3})$$, де $$\Delta _{i}$$ — визначник, одержаний із визначника системи шляхом заміни в ньому стовпця коефіцієнтів при невідомих $$x_{i}$$ $$(i=\overline{1,3})$$ стовпцем вільних членів.

Метод оберненої матриці передбачає, що розв’язувана система в матричному запису має вигляд $$AX=B$$, де

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$ – матриця системи,

$$X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$ – матриця невідомих,

$$B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$ – матриця вільних членів.

Якщо матриця $$A$$ невироджена (у цьому випадку $$|A|\neq 0$$), то розв’язок системи в матричному виді записується $$X=A^{-1}B$$, де $$A^{-1}$$ – обернена матриця по відношенню до матриці $$A$$.

Приклад: Розв’язати систему трьома методами

$$\left\{\begin{matrix} 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ 5x_1&+&x_2&+&3x_3&=&14,\\ 2x_1&+&x_2&+&2x_3&=&5. \end{matrix}\right.$$

Метод Гауса. Виключимо невідоме $$x_1$$ із другого рівняння, для чого помножимо перше рівняння на 5, а друге – на 2 і віднімемо перше одержане від другого одержаного рівняння. А далі віднімемо перше рівняння від третього. В результаті одержимо систему, яка має трикутникову форму

$$\left\{\begin{matrix} 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ &-&3x_2&+&x_3&=&18,\\ &&&&x_3&=&3. \end{matrix}\right.$$

Виконання необхідних дій в зворотному напрямі дозволяє одержати:
$$x_3=3, x_2=-5, x_1=2$$

Метод Крамера. Обчислимо визначник системи $$\Delta$$, тобто визначник, укладений із коефіцієнтів при невідомих $$x_1, x_2, x_3$$:

$$\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 2\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}=-3$$ (дивись приклади обчислення визначників третього порядку)

Далі знаходимо значення допоміжних визначників $$\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$$. У випадку $$\Delta_1$$ стовпцем вільних членів замінений перший стовпець:

$$\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 14 & 1 & 3\\ 5&1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 12 & 0 & 2\\ 3&0&1 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}12&2\\3&1\end{vmatrix}=-(12-6)=-6$$

У випадку $$\Delta_2$$ стовпцем вільних членів замінений другий стовпець:

$$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1\\ 5 & 14 & 3\\ 2&5&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\ 5 & 9 & -2\\ 2&3&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\ -1 & 0 & -2\\ 2&3&0 \end{vmatrix}=$$

$$=3\cdot(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}2&-1\\-1&-2\end{vmatrix}=-3\cdot(-4-1)=15$$

У випадку $$\Delta_3$$ стовпцем вільних членів замінений третій стовпець:

$$\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 5 & 1 & 14\\ 2&1&5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 12\\ 0&0&3 \end{vmatrix}=3\cdot(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}2&1\\3&0\end{vmatrix}=3\cdot(-3)=-9$$

Тоді

$$x_1=\frac{-6}{-3}= 2, x_2=\frac{15}{-3}=-5, x_3=\frac{-9}{-3}=3.$$

Отже, $$x_1= 2, x_2=-5, x_3=3.$$

Метод оберненої матриці. $$|A|=-3\neq0$$, отже матриця системи невироджена, а тому можна побудувати обернену їй матрицю (дивись приклад знаходження оберненої матриці).

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{pmatrix}$$, $$A^{-1}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}$$

Тоді матриця коренів

$$X=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 14\\ 5 \end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1+14-10\\ 8-28+5\\ -6+0+16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ 3 \end{pmatrix}.$$

Тобто, $$x_1= 2, x_2=-5, x_3=3.$$

Розв’язування систем однорідних рівнянь

Очевидно, що однорідна система трьох лінійних рівнянь завжди має так званий тривіальний розв’язок $$x_1=x_2=x_3=0$$.

У випадку, коли визначник системи $$\Delta\neq0$$, так званий тривіальний розв’язок являється єдиним (у відповідності з теоремою Крамера).

У випадку, коли $$Delta=0$$, однорідна система має безліч розв’язків. При цьому можливі два різних випадки безлічі розв’язків: випадок, коли всі мінори другого порядку, які можна укласти із матриці $$A$$, дорівнюють нулю, і випадок, коли один із них, відрізняється від нуля.

Про особливості розв’язування неоднорідних систем
у випадку, коли визначник системи дорівнює нулю

У цьому випадку, якщо, як, наприклад, у випадку системи
$$\left\{\begin{matrix} x_1&+&x_2&+&x_3&=&1,\\ 2x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&3,\\ 3x_1&+&3x_2&+&3x_3&=&4. \end{matrix}\right.$$
або не існує жодного розв’язку, або, як, наприклад, у випадку системи
$$\left\{\begin{matrix} x_1&+&x_2&+&x_3&=&1,\\ 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ 3x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&3. \end{matrix}\right.$$
їх існує нескінчена множина.

У першому із зазначених випадків можна прийти до, принаймні, однієї суперечності (у нашому прикладі їх виявляється дві: 2=3 -?, 3=4 -?). У другому випадку суперечності відсутні, але, принаймні, одне із рівнянь системи може виявитись зайвим (у нашому прикладі третє рівняння системи зайве, бо воно є сумою першого і другого рівнянь заданої системи).

Отже, спосіб визначників у випадку $$\Delta=\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=0$$ не дає можливості відрізнити випадок несумісності системи (система не має розв’язків) від випадку її невизначеності (система має безліч розв’язків). Спосіб Гауса в цьому плані більш продуктивний. До того ж він, очевидно, більш простіший.

Также рекомендуем ознакомиться с другими материалами раздела линейная алгебра: Модифицированный метод Гаусса для решения СЛУ, Вопрос существования решений СЛУ.

Поделиться

Больше материалов

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Материалы по теме

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории...

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц.

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи...

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як...