Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе задання доволі різноманітних систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі системи координат, які найбільш часто застосовуються на практиці.

Координати точки на прямій та основні задачі

Точку $$M$$ координатної вісі $$OX$$ з абсцисою $$x$$ позначають $$M(x)$$.

Віддаль між двома точками $$M_{1}(x_{1})$$ і $$M_{2}(x_{2})$$ при будь-якому розташуванні їх на осі визначається формулою:

$$d=|x_{2}-x_{1}|$$.

Відрізок $$AB$$ довільної прямої ($$A$$ – початок, $$B$$ – кінець відрізка) може бути поділений за допомогою точки $$C$$ цієї прямої в деякому відношенні $$\lambda$$, яке визначається формулою:

$$\lambda =\pm\frac{AC}{CB}$$.

Знак “+” береться у випадку, коли точка поділу $$C$$ розташована на відрізку $$AB$$ (тоді $$AC$$ і $$CB$$ однаково спрямовані), якщо точка $$C$$ знаходиться поза $$AB$$, то береться знак “–” (тоді відрізки $$AC$$ і $$CB$$ будуть протилежно спрямовані).

Якщо точки $$A$$ і $$B$$ розташовані на осі $$OX$$, а $$C$$ – точка поділу відрізка у відношенні $$\lambda,$$ то координата $$x$$ точки $$C\left (x \right )$$ визначається формулою:

$$x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}.$$

Зокрема, при $$\lambda=1$$ реалізується половинний поділ, тобто $$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$ є координата середини відрізка $$AB$$.

Отже ми розглянули систему координат на прямій, тобто сукупність умов, якими визначається положення точки на прямій, а також дві найпростіші задачі в цій системі.

Декартова прямокутна система координат на площині, найпростіші задачі

Система зветься прямокутною декартовою системою, якщо осі $$OX$$ і $$OY$$ взаємно перпендикулярні і мають одинакові масштабні одиниці.

Якщо спроектуємо точку $$M$$ на осі $$OX$$ і $$OY$$, то $$M$$ має на осі $$OX$$ координату $$x$$ (абсцису), а на осі $$OY$$ координату $$y$$ (ординату).

Знаки координат точок на площині:

Відстань від точки до точки знаходять за формулою:

$$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}.$$

Якщо відрізок $$AB$$ поділяється точкою $$C$$ у відношенні $$\lambda$$, то координати точки поділу $$C(x,y)$$ через координати точок $$M_{1}(x_{1},y_{1})$$ і $$M_{2}(x_{2},y_{2})$$ виражаються наступним чином:

$$x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda},\;y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}.$$

У випадку, коли $$C$$ – середина відрізка $$AB$$, то її координати знаходять так:

$$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\;y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.$$

Площа трикутника з вершинами $$A(x_{A};y_{A}),\;B(x_{B}, y_{B}),\;C(x_{C}, y_{C})$$ визначається за формулою:

$$S=\frac{1}{2}\left | x_{A}\cdot(y_{B}-y_{C})+x_{B}\cdot(y_{C}-y_{A})+x_{C}\cdot(y_{A}-y_{B}) \right |.$$

Полярна система координат. Зв’язок між полярними і декартовими координатами

Положення точки $$M$$ на площині визначається її відстанню $$OM=\rho$$ від полюса $$O$$ ($$\rho$$ – полярний радіус-вектор точки) і кутом $$\phi$$, який утворюється відрізком $$OM$$ з полярною віссю $$OX$$ ($$\phi$$ – полярний кут точки). Кут $$\phi$$ вважається додатним, якщо він збільшується при повороті відрізка $$OM$$ проти годинникової стрілки. Точка $$M(\rho; \phi)$$ має координати $$0\leqslant \rho<\infty,\; 0\leqslant \phi<2\pi.$$

Якщо початок декартової прямокутної системи координат розташувати в полюсі, а вісь $$OX$$ направити вздовж полярної вісі, то прямокутні координати $$x$$ і $$y$$ точки $$M$$ і її полярні координати $$\rho$$ і $$\phi$$ будуть пов’язані наступними формулами:

$$x=\rho\cos\phi,\;\;y=\rho\sin\phi;$$

$$\rho=\sqrt{x^2+y^2},\;\cos\phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\;\sin\phi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

Поделиться

Больше материалов

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Різні види рівняння прямої у просторі

Пропонуємо згадати види рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої $$left{begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 end{matrix}right.$$ -...

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Материалы по теме

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории...

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц.

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи...

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории...

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як...