Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \angle\left ( \vec{a},\vec{b} \right )$$

Властивості скалярного добутку:

  1. $$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2.$$
  2. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0,$$  якщо $$\vec{a}\perp \vec{b}$$ або $$\vec{a}=0,$$ або $$\vec{b}=0.$$
  3. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.$$
  4. $$\vec{a}\cdot\left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.$$
  5. $$\left (\lambda\vec{a} \right )\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).$$

В декартовій системі координат

$$\vec{a}=\left \{ x_{a},\;y_{a},\;z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},\;y_{b},\;z_{b} \right \}$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$

$$\cos\angle\left (\vec{a},\vec{b} \right )=\frac{x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{\sqrt{x_{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}\cdot\sqrt{x_{b}^2+y_{b}^2+z_{b}^2}}$$

Приклад.

Знайти $$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right ),$$ якщо $$|\vec{a}|=2,\;|\vec{b}|=3,\;\vec{a}\perp\vec{b}.$$

Розв’язування.

$$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right )=10\vec{a}\cdot\vec{a}-5\vec{a}\cdot\vec{b}+6\vec{b}\cdot\vec{a}-3\vec{b}\cdot\vec{b}=10|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}-3|\vec{b}|^2=$$

$$=10\cdot2^2+0-3\cdot3^2=40-27=13$$

Приклад.

Знайти $$\angle(\vec{a},\vec{b})$$, якщо $$\vec{a}(1;2;3),\;\vec{b}(6;4;-2)$$

Розв’язування.

$$\cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\frac{1\cdot6+2\cdot4+3\cdot(-2)}{\sqrt{1+4+9}\cdot\sqrt{36+16+4}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot2\sqrt{14}}=$$

$$=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$$

$$\angle(\vec{a},\vec{b})=\text{arcccos}\frac{2}{7}\approx 73^\circ{24}^{\prime}$$

Приклад. При якому значенні $$m$$ вектори $$\vec{a}=\left \{ m;1;0 \right \}$$  і $$\vec{b}=\left \{ 3;-3;-4 \right \}$$ перпендикулярні?

Розв’язування.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=m\cdot3+1\cdot(-3)+0\cdot(-4)=3m-3=0\Rightarrow m=1$$

Поделиться

Больше материалов

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині. Розглянемо деякі співвідношення, які...

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді $$left{begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} &...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Материалы по теме

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 9

Решение 9 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 23 задание

В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы $$vec{a}(3;4)$$ и $$vec{b}(-2;2).$$ Каждому...

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 15 задание

На координатной плоскости $$xy$$ изображена окружность, центр которой совпадает с началом координат...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 22 задание

Задание 22 У прямокутній системі координат на площині...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді