Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \angle\left ( \vec{a},\vec{b} \right )$$

Властивості скалярного добутку:

  1. $$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2.$$
  2. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0,$$  якщо $$\vec{a}\perp \vec{b}$$ або $$\vec{a}=0,$$ або $$\vec{b}=0.$$
  3. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.$$
  4. $$\vec{a}\cdot\left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.$$
  5. $$\left (\lambda\vec{a} \right )\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).$$

В декартовій системі координат

$$\vec{a}=\left \{ x_{a},\;y_{a},\;z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},\;y_{b},\;z_{b} \right \}$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$

$$\cos\angle\left (\vec{a},\vec{b} \right )=\frac{x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{\sqrt{x_{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}\cdot\sqrt{x_{b}^2+y_{b}^2+z_{b}^2}}$$

Приклад.

Знайти $$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right ),$$ якщо $$|\vec{a}|=2,\;|\vec{b}|=3,\;\vec{a}\perp\vec{b}.$$

Розв’язування.

$$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right )=10\vec{a}\cdot\vec{a}-5\vec{a}\cdot\vec{b}+6\vec{b}\cdot\vec{a}-3\vec{b}\cdot\vec{b}=10|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}-3|\vec{b}|^2=$$

$$=10\cdot2^2+0-3\cdot3^2=40-27=13$$

Приклад.

Знайти $$\angle(\vec{a},\vec{b})$$, якщо $$\vec{a}(1;2;3),\;\vec{b}(6;4;-2)$$

Розв’язування.

$$\cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\frac{1\cdot6+2\cdot4+3\cdot(-2)}{\sqrt{1+4+9}\cdot\sqrt{36+16+4}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot2\sqrt{14}}=$$

$$=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$$

$$\angle(\vec{a},\vec{b})=\text{arcccos}\frac{2}{7}\approx 73^\circ{24}^{\prime}$$

Приклад. При якому значенні $$m$$ вектори $$\vec{a}=\left \{ m;1;0 \right \}$$  і $$\vec{b}=\left \{ 3;-3;-4 \right \}$$ перпендикулярні?

Розв’язування.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=m\cdot3+1\cdot(-3)+0\cdot(-4)=3m-3=0\Rightarrow m=1$$

Поделиться

Больше материалов

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея...

Производная неявной функции

Алгоритм нахождения производной неявной функции. Примеры..

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование (2 способа). Параметрическое дифференцирование. Примеры.

Материалы по теме

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 9

Решение 9 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 23 задание

В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы $$vec{a}(3;4)$$ и $$vec{b}(-2;2).$$ Каждому...

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 15 задание

На координатной плоскости $$xy$$ изображена окружность, центр которой совпадает с началом координат...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 22 задание

Задание 22 У прямокутній системі координат на площині...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді