Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

  1. $$a^0=1\; \left (a\neq0 \right )$$
  2. $$a^1=a$$
  3. $$a^x\cdot a^y=a^{x+y} \; \left (x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  4. $$\frac{a^x}{a^y} =a^{x-y}\; \left ( x,y\in\mathbb{R}, a\neq0 \right )$$
  5. $$(a^x)^y=a^{xy}\; \left ( x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  6. $$(ab)^x=a^xb^x\; \left ( x\in\mathbb{R} \right )$$
  7. $$\left (\frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x} \; \left ( x\in\mathbb{R} , b\neq0\right )$$
  8. $$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\; \left ( x\in\mathbb{N} \right )$$

Арифметический корень $$n$$- й степени $$\left (n>0 \right )$$ из числа  $$a$$ — это такое число $$b,$$ что $$b^n=a.$$ Арифметический корень 2-й степени записывается без указания степени и называется квадратным корнем. Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем.

Свойства корней:

Для любых натуральных больших единицы $$n$$ и $$k,$$ для любых неотрицательных $$a$$ и $$b:$$

1. $$a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}$$

2. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

3. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^k=\sqrt[n]{a^k}$$

4. $$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$$

5. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\; \left ( b\neq0 \right )$$

6. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$

7. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^n=a\; (a\geqslant 0)$$

8. $$\sqrt{a^2}=|a|$$

9. $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$

10. $$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}\; \left ( a\geqslant 0 \right )$$

11. $$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\; \left ( 0\leqslant a < b\right )$$

12. $$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\; \left ( a>0, b>0, a^2>b \right )$$

Советуем посмотреть примеры, в которых применяются свойства степеней и корней: Задание 3 (алгебра).

Поделиться

Больше материалов

Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$Delta y$$ к приращению $$Delta x$$...

Логарифмы и их свойства

Определение Число $$c$$ называется логарифмом положительного числа $$b$$ по основанию числа $$a,$$ большего нуля и неравного единице, если...

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Определенный интеграл и его свойства

Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла Определённый интеграл $$intlimits_{a}^{b}f(x),dx$$...

Тангенсоида

Тангенсом называется функция вида $$f(x)=text{tg}x.$$ Область определения $$D(f)$$ - множество действительных чисел за исключением чисел вида $$frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z},$$...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..