Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

  1. $$a^0=1\; \left (a\neq0 \right )$$
  2. $$a^1=a$$
  3. $$a^x\cdot a^y=a^{x+y} \; \left (x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  4. $$\frac{a^x}{a^y} =a^{x-y}\; \left ( x,y\in\mathbb{R}, a\neq0 \right )$$
  5. $$(a^x)^y=a^{xy}\; \left ( x,y\in\mathbb{R} \right )$$
  6. $$(ab)^x=a^xb^x\; \left ( x\in\mathbb{R} \right )$$
  7. $$\left (\frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x} \; \left ( x\in\mathbb{R} , b\neq0\right )$$
  8. $$a^{-x}=\frac{1}{a^x}\; \left ( x\in\mathbb{N} \right )$$

Арифметический корень $$n$$- й степени $$\left (n>0 \right )$$ из числа  $$a$$ — это такое число $$b,$$ что $$b^n=a.$$ Арифметический корень 2-й степени записывается без указания степени и называется квадратным корнем. Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем.

Свойства корней:

Для любых натуральных больших единицы $$n$$ и $$k,$$ для любых неотрицательных $$a$$ и $$b:$$

1. $$a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}$$

2. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$$

3. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^k=\sqrt[n]{a^k}$$

4. $$\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$$

5. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\; \left ( b\neq0 \right )$$

6. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$

7. $$\left (\sqrt[n]{a} \right )^n=a\; (a\geqslant 0)$$

8. $$\sqrt{a^2}=|a|$$

9. $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|$$

10. $$\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}\; \left ( a\geqslant 0 \right )$$

11. $$\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\; \left ( 0\leqslant a < b\right )$$

12. $$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\; \left ( a>0, b>0, a^2>b \right )$$

Советуем посмотреть примеры, в которых применяются свойства степеней и корней: Задание 3 (алгебра).

Поделиться

Больше материалов

Основные неопределенные интегралы

Определения неопределенного интеграла и первообразной. 16 основных неопределенных интегралов..

Значения обратных тригонометрических функций

Рекомендуем ознакомиться со свойствами обратных тригонометрических функций и решением простейших тригонометрических уравнений. Также будет полезно ознакомиться с материалами раздела...

Формулы приведения

Можно не заучивать формулы приведения тригонометрических функций. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов. Правило

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Решение простейших тригонометрических уравнений

Предлагаем ознакомится с материалами по тригонометрии: Определение тригонометрических функций, Свойства обратных тригонометрических функций, Значения обратных тригонометрических функций. В общем...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..