Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{\alpha}.$$

Виды графиков степенной функции в зависимости от $$\alpha:$$

1. $$\alpha=n$$ ($$n\geqslant2$$ — натуральное число).

Такая степенная функция определена при любых значениях переменной $$x.$$ График функции $$y=x^n$$ проходит через точку $$(1;1)$$ и касается оси абсцисс в начале координат.

График при четных $$n$$

График степенной функции при четных $$n.$$
$$y=x^2, y=x^4.$$

График при нечетных $$n$$

График степенной функции при нечетных $$n.$$
$$y=x^3, y=x^5.$$

2. $$\alpha=-n$$ $$(n\in \mathbb{N}).$$

Такая степенная функция определена при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции $$y=\frac{1}{x^n}$$ проходит через точку $$(1;1).$$

Графики функций при $$n=1, n=2, n=3$$

Графики степенных функций
$$y=\frac{1}{x}, y=\frac{1}{x^2}, y=\frac{1}{x^3}.$$

3. $$\alpha=r$$ ($$r=\frac{m}{n},$$ $$m$$ и $$n$$ — взаимнопростые натуральные числа).

Такая степенная функция имеет нуль в начале координат, а ее график проходит через точку $$(1;1).$$ При четном $$n$$ степенная функция $$y=x^{\frac{m}{n}}$$ определена на множестве $$[0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$\mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Графики функций при различных $$m$$ и $$n$$

Степенная функция
$$y=x^{\frac{1}{2}}.$$
Степенная функция
$$y=x^{\frac{3}{2}}.$$
Степенная функция
$$y=x^{\frac{1}{3}}.$$
Степенная функция
$$y=x^{\frac{2}{3}}.$$
Степенная функция
$$y=x^{\frac{5}{3}}.$$

4. $$\alpha=q$$ ($$q=\frac{m}{n} <0,$$ $$m$$ и $$n$$ — взаимнопростые целые числа, $$n\neq-1$$).

При четном $$n$$ функция определена на множестве $$(0;\infty),$$ а при нечетном $$n$$ — на множестве $$(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$ График функции проходит через точку $$(1;1).$$ Графики при различных $$m$$ и $$n$$

Степенные функции
$$y=x^{-\frac{1}{2}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{2}{3}}, y=x^{-\frac{3}{2}}.$$

Поделиться

Больше материалов

Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$Delta y$$ к приращению $$Delta x$$...

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Прежде, чем приступать к запоминанию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов, предлагаем вспомнить определение тригонометрических функций.

Формулы сокращенного умножения

В роли $$a$$ и $$b$$ могут выступать любые выражения. Формулы Разность квадратов двух выражений равна...

Синусоида

Рассмотрим тригонометрическую функцию $$y=sin x.$$ Функция синус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех...

Тангенсоида

Тангенсом называется функция вида $$f(x)=text{tg}x.$$ Область определения $$D(f)$$ - множество действительных чисел за исключением чисел вида $$frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z},$$...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

22 задание ЗНО 2014

Решение 22 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..