Свойства обратных тригонометрических функций

Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия  тригонометрических функций.

Арксинус

Арксинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\sin \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$

  • Областью определения функции арксинус является отрезок $$[-1;1].$$
  • Областью значений функции арксинус является отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус строго возрастающая функция.
  • $$\sin \left (\arcsin a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arcsin\left (\sin \alpha \right )=\alpha,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$$
  • Арксинус является нечетной функцией: $$\arcsin(-a)=-\arcsin a,\;|a| \leqslant 1.$$
  • $$\arcsin a>0,\;a\in(0;1].$$
  • $$\arcsin a=0,\;a=0.$$
  • $$\arcsin a<0,\;a\in[-1;0).$$

Арккосинус

Арккосинусом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\cos \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[0;\pi].$$

  • Областью определения функции арккосинус является отрезок $$[-1;1].$$
  • Областью значений функции арккосинус является отрезок $$[0;\pi].$$
  • Арккосинус строго убывающая функция.
  • $$\cos \left (\arccos a \right )=a,\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\arccos\left (\cos \alpha\right )=\alpha,\;\alpha\in[0;\pi].$$
  • Арккосинус является индифферентной функцией: $$\arccos (-a)=\pi-\arccos a,\;|a|\leqslant 1.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\arccos a>0,\;a\in[-1;1).$$
  • $$\arccos a=0,\;a=1.$$

Арктангенс

Арктангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{tg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$

  • Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
  • Областью значений функции арктангенс является интервал $$\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс строго возрастающая функция.
  • $$\text{tg}\left (\text{arctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\left (\text{tg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • Арктангенс является нечетной функцией: $$\text{arctg}\left (-a \right ) =-\text{arctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arctg}\,a>0,\;a\in(0;\infty ).$$
  • $$\text{arctg}\,a=0,\;a=0.$$
  • $$\text{arctg}\,a<0,\;a\in(-\infty;0).$$

Арккотангенс

Арккотангенсом числа $$a$$ называется такое значение угла $$\alpha,$$ для которого $$\text{ctg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$

  • Областью определения функции арккотангенс является вся числовая прямая: $$\mathbb{R}.$$
  • Областью значений функции арккотангенс является интервал $$\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс строго убывающая функция.
  • $$\text{ctg}\left (\text{arcctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}.$$
  • $$\text{arcctg}\left (\text{ctg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left (0;\pi \right ).$$
  • Арккотангенс является индифферентной функцией: $$\text{arcctg}\left (-a \right ) =\pi-\text{arcctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}.$$ Функция центрально-симметрична относительно точки $$\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ).$$
  • $$\text{arcctg}\,a>0,\;a\in\mathbb{R}.$$

Основные соотношения

  • $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2},\;|a|\leqslant 1.$$
  • $$\text{arctg}\,a+\text{arcctg}\,a=\frac{\pi}{2},\;a\in\mathbb{R}.$$

Поделиться

Больше материалов

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Решение простейших тригонометрических уравнений

Предлагаем ознакомится с материалами по тригонометрии: Определение тригонометрических функций, Свойства обратных тригонометрических функций, Значения обратных тригонометрических функций. В общем...

Правила дифференцирования. Таблица производных. Геометрический и физический смыслы производной

Определение Производной функции $$y=f(x)$$ в точке $$x$$ называется предел отношения приращения функции $$Delta y$$ к приращению $$Delta x$$...

Формулы приведения

Можно не заучивать формулы приведения тригонометрических функций. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов. Правило

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида $$y=log_{a}x$$ $$(a > 0, aneq1).$$ Функция определена при $$x > 0,$$ т.е. область определения...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...