Связь между площадями фигур (задача 5 класса)

Квадрат со стороной $$b$$ вписан в квадрат со стороной $$c$$ и в него вписан еще один квадрат со стороной $$a.$$ Вершины вписанных квадратов лежат на середине сторон квадратов, в которые они вписаны (см. рисунок). Площадь самого маленького квадрата — 25, какова площадь самого большого квадрата?

Решение

Существует несколько способов решения данной задачи. Разберем два из них:

1. основываясь на знаниях учеников 5 класса о площадях квадрата и треугольника;

2. если ученики 5 класса еще не знают формул площадей.

1 способ

Сначала рассмотрим два внутренних квадрата (средний и маленький).

Проведем диагональ в самом маленьком квадрате, получим прямоугольный треугольник (одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата). Из вершины прямого угла проведем высоту на сторону, лежащую напротив этого угла. Очевидно, что полученная высота равна $$\frac{b}{2},$$ противолежащая сторона равна $$b,$$ а стороны при угле в $$90^{\circ}$$ равны по $$a$$ (из условия задачи + см. рисунок).

Площадь полученного треугольника найдем двумя способами:

1. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь можно найти, перемножив длины сторон при прямом угле и разделив полученное произведение на 2. То есть $$S_{\triangle}=\frac{a^2}{2}.$$

2. Используя формулу площади произвольного треугольника, найдем площадь, перемножив сторону и опущенную к ней высоту, разделив затем полученное произведение на 2. То есть $$S_{\triangle}=b\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{b^2}{4}.$$

Приравняв площади, получим:

$$\frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{2},$$ отсюда $$b^2=2a^2.$$ То есть площадь вписанного квадрата, вершины которого делят стороны описанного квадрата пополам, в два раза меньше площади описанного квадрата.

Теперь рассмотрим средний и большой квадраты, выполнив те же действия, как для малого и среднего квадратов (см. рисунок).

Пользуясь выводом для случая малого и среднего квадратов, получим:

$$c^2=2b^2.$$

Или $$c^2=2b^2=2\cdot2a^2=4a^2=4\cdot25=100$$

Ответ: 100

2 способ

Данный способ основан на равенстве площадей треугольников (см. рисунки ниже для малого и среднего квадратов и для среднего и большого квадратов).

Очевидно, что малый квадрат состоит из 4-х равных треугольников, а средний — из 8-ми. То есть площадь малого квадрата в 2 раза меньше площади среднего.

Аналогично предыдущему площадь среднего квадрата в 2 раза меньше площади большого. Значит площадь большего квадрата в 4 раза больше площади меньшего.

Соответственно площадь большого квадрата равна 100.

Ответ: 100.

Поделиться

Больше заданий

Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Задание 17 (уравнение высоты треугольника)

Точки $$A(0;1),;B(6;5),;C(12;-1)$$ являются вершинами треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины $$C$$. Рекомендуем ознакомиться с теоретическим материалом по...

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию:

Задание 31 (объем равногранного тетраэдра)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию геометрическую задачу на нахождение объема равногранного тетраэдра.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..
Предыдущий материал17 задание ЗНО 2014
Следующий материалИзбавление от иррациональности