Тест по математике на 60 минут для учеников 11 класса

Для того, чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их. Переведем дроби в обыкновенные.

Вспомним свойства:

1. При одинаковых числителях больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
2. При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше.

$$\frac{1}{9}>\frac{1}{10}=0.1$$

$$0.11=\frac{11}{100}>\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0.1$$ (хотя для десятичных дробей сразу видно, что число $$0.11$$ расположено на числовой оси правее числа $$0.1$$)

$$0.11=\frac{11}{100}=\frac{99}{900}<\frac{100}{900}=\frac{1}{9}$$

Значит $$0.1<0.11<\frac{1}{9}$$

$$0.1;\,0.11;\,\frac{1}{9}$$ – расположены в порядке возрастания.

Область значений функции $$y=f(x)$$ — множество значений, которые принимает переменная $$y$$ в результате применения функции. Из графика видно, что $$y\in[-1; 2].$$

Воспользуемся свойствами смежных и вертикальных углов, суммой углов прямоугольного треугольника

$$a=90^{\circ}-(180^{\circ}-146^{\circ})=56^{\circ}$$

$$\vec{CO}=\frac{1}{2}\vec{CA}=-\frac{1}{2}\vec{AC}=-\frac{1}{2}\left (\vec{AB}+\vec{AD} \right )$$

$$x^2-2x\leqslant 0$$

$$x(x-2)\leqslant 0$$

Решаем методом интервалов

$$x\in [0;2]$$

Используем свойства корней

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{0.08}=\sqrt{2\cdot0.08}=\sqrt{0.16}=\sqrt{(0.4)^2}=0.4$$

Выполним преобразования, применив формулы сокращенного умножения

$$\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(3+x)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3}$$

Диаметр основания конуса равен 6 см, значит радиус равен 3 см.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле

$$S=\pi\cdot R\cdot l$$, где $$R$$ – радиус основания конуса, $$l$$ – образующая конуса. Так как площадь боковой поверхности конуса равна $$24\pi$$ см², то образующая равна

$$l=\frac{S}{R\pi}=\frac{24\pi}{3\pi}=8$$ см.

1) Сколько килограммов меди содержится в первом сплаве?

Так как масса первого сплава равна 50 кг и в нем содержится 10% меди, то

$$x_1$$ кг меди – 10%

50 кг первого сплава – 100%

Получили пропорцию

$$\frac{x_1}{50}=\frac{10\%}{100\%}\Rightarrow x_1=50\cdot 0.1=5$$ кг.

2) Сколько килограммов меди содержится в двух сплавах одновременно?

Сначала найдем массу меди во втором сплаве, а затем массу меди в двух сплавах одновременно.

$$x_2$$ кг меди – 25%

100 кг второго сплава – 100%

$$\frac{x_2}{100}=\frac{25\%}{100\%}\Rightarrow x_2=100\cdot 0.25=25$$ кг

Так как масса меди в первом сплаве равна 5 кг (см. 1), то

$$5+25=30$$ кг – общая масса меди в двух сплавах одновременно

3) Если из данных сплавов образовать новый сплав, то сколько процентов меди будет содержать новый сплав?

Общая масса меди в двух сплавах равна 30 кг (см. 2)

Общая масса двух сплавов равна 50 + 100 = 150 кг – масса нового сплава.

30 кг меди – p%

150 кг нового сплава – 100%

$$\frac{30}{150}=\frac{p\%}{100\%}\Rightarrow p=\frac{1}{5}\cdot 100=20$$

4) Сколько килограммов второго сплава необходимо прибавить к первому, чтобы получился сплав, содержащий 15% меди?

Пусть необходимо прибавить $$y$$ кг второго сплава с массой меди в нем, равной $$0.25y$$ кг (по условию во втором сплаве 25% меди).

$$5+0.25y$$ кг меди – 15%

$$50+y$$ кг сплава – 100%

$$\frac{5+0.25y}{50+y}=\frac{15\%}{100\%}$$

$$5+0.25y=0.15\cdot(50+y)$$

$$0.25y-0.15y=7.5-5$$

$$0.1y=2.5$$

$$y=25$$ кг

Воспользуемся определением модуля и преобразуем функцию

$$y=4-|20x+7|=\left[\begin{matrix} 4-(20x+7), 20x+7\geqslant 0\\ \\ 4-(-20x-7), 20x+7< 0 \end{matrix}\right.=\left[\begin{matrix} -20x-3, x\geqslant -\frac{7}{20}\\ \\ 20x+11, x< -\frac{7}{20} \end{matrix}\right.$$

$$y=20x+11$$ возрастающая функция, а $$y=-20x-3$$ – убывающая.

Значит функция $$y=4-|20x+7|$$ возрастает при $$x\in(-\infty;-\frac{7}{20})$$ и убывает при $$x\in[-\frac{7}{20};\infty)$$, а при $$x=-\frac{7}{20}=-0.35$$ принимает наибольшее значение (см. рисунок).

График функции $$y=4-|20x+7|$$

Ответ: $$-0.35$$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию и получим

$$\log_{b}a=\frac{\log_{3}a}{\log_{3}b}=\frac{8}{5}=1.6$$

Ответ: 1.6.

Преобразуем левую часть. В первом подкоренном выражении вынесем общий множитель за скобки. Для второго используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители, найдя его корни по теореме Виета.

$$\sqrt{x(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix} x(x-5) & \geqslant & 0\\ (x-4)(x-5) & \geqslant & 0\\ x-5& \geqslant& 0\\ a& \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geqslant5,\;a\geqslant0$$

Применим свойство корней (корень произведения)

$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}+\sqrt{x-4}\cdot\sqrt{x-5}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

Вынесем общий множитель за скобки

$$\sqrt{x-5}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a})=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, значит

$$\sqrt{x-5}=0$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0$$

$$x=5$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

$$x=5$$ является корнем уравнения и не зависит от параметра $$a$$

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

Левая и права часть уравнения неотрицательны ($$\sqrt{}$$ $$\geqslant 0$$). Возведем в квадрат обе части уравнения

$$\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \right )^2=\left (\sqrt{a} \right )^2$$

Раскроем скобки, используя свойства корней и формулу квадрата суммы

$$x+x-4+2\sqrt{x(x-4)}=a$$

$$2\sqrt{x(x-4)}=a+4-2x$$

Левая часть неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной. Получили дополнительное условие $$a+4-2x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant \frac{a+4}{2}$$

C учетом ОДЗ

$$5\leqslant x\leqslant \frac{a+4}{2}\Rightarrow \frac{a+4}{2}\geq 5\Rightarrow a\geq 6$$

Возведем в квадрат обе части уравнения

$$\left (2\sqrt{x(x-4)} \right )^2=\left (a+4-2x \right )^2$$

$$4x(x-4)=(a+4)^2+4x^2-4x(a+4)$$

$$4x^2-16x=(a+4)^2+4x^2-16x-4ax$$

$$4ax=(a+4)^2$$

$$x=\frac{(a+4)^2}{4a}$$

Найдем наименьшее целое значение параметра, при котором найденный $$x$$ является корнем уравнения

$$\frac{(a+4)^2}{4a}\geqslant 5$$

$$\frac{(a+4)^2}{4a}-5\geqslant 0$$

$$\frac{(a+4)^2-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2+16+8a-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2-12a+16}{4a}\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow 4a>0\Rightarrow a^2-12a+16\geqslant 0$$

Рассмотрим $$a^2-12a+16=0$$

Найдем корни (воспользуемся формулой дискриминанта для четного коэффициента при первой степени)

$$D_1=36-16=20=2^2\cdot5$$

$$a_{1,2}=6\pm2\sqrt{5}$$

$$\left [a-(6-2\sqrt{5}) \right ]\cdot\left [a-(6+2\sqrt{5}) \right ]\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow a-(6-2\sqrt{5}) >0\Rightarrow a-(6+2\sqrt{5})\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6+2\sqrt{5}$$

$$6+2\sqrt{5} \approx 10.47$$

Значит наименьшее целое значение параметра $$a=11$$, при котором исходное уравнение имеет два корня

$$x_1=5,\;x_2=\frac{(11+4)^2}{4\cdot11}=\frac{225}{44}=5\frac{5}{44}$$

Ответ: $$a=11.$$