Высшая математика

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як матриця $$A$$ розмірності $$(ntimes m)$$, де $$n$$ - кількість рядків, а $$m$$ - стовпців. Матрицею називається таблиця чисел $$A=begin{pmatrix} a_{11} &cdots &a_{1m} \ vdots & & \ a_{n1}& cdots & a_{nm} end{pmatrix}$$. Визначником називається число, записане певним чином: $$detA=|A|=Delta A=begin{vmatrix} a_{11} &cdots &a_{1n} \ vdots & & \ a_{n1}& cdots & a_{nn} end{vmatrix}.$$ Доречно підкреслити, що первісним поняттям для понять...

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц. Основні означення Система, що не має розв’язку, називається несумісною. Система, що має хоча б одне рішення, називається сумісною. Сумісна система може мати одне або кілька рішень. Система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною. Система, що має кілька розв’язків, називається невизначеною. Розв’язування систем неоднорідних рівнянь В практиці розв’язування систем неоднорідних рівнянь застосовуються методи Гауса, Крамера та оберненої...

Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими. Ідея підходу така сама, як і в методі Гауса - розширена матриця приводиться до трикутного вигляду. Вона складається за участю правої частини системи і контрольного стовпця. Елементи контрольного стовпця дорівнюють сумі всіх елементів відповідних рядків. Приклад. $$left{begin{matrix} 2x_{1} &+ &3x_{2} &+ &x_{3} &- &x_{4} &= & 3\ 3x_{1} &-...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді $$left{begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & ... & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & ... & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \ cdots & & & & & & & & \ a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + & ... & + &...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе задання доволі різноманітних систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі системи координат, які найбільш часто...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний з будь-яким вектором. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, до якої вони паралельні. Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні. Вектори...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. $$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotcos angleleft ( vec{a},vec{b} right )$$ Властивості скалярного добутку: $$vec{a}cdotvec{a}=|vec{a}|^2.$$$$vec{a}cdotvec{b}=0,$$  якщо $$vec{a}perp vec{b}$$ або $$vec{a}=0,$$ або $$vec{b}=0.$$$$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}.$$$$vec{a}cdotleft (vec{b}+vec{c} right )=vec{a}cdotvec{b}+vec{a}cdotvec{c}.$$$$left (lambdavec{a} right )cdotvec{b}=vec{a}cdotleft (lambdavec{b} right )=lambda(vec{a}cdotvec{b}).$$ В декартовій системі координат $$vec{a}=left { x_{a},;y_{a},;z_{a} right },;vec{b}=left { x_{b},;y_{b},;z_{b} right }$$ $$vec{a}cdotvec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$ $$cosangleleft (vec{a},vec{b} right )=frac{x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{sqrt{x_{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}cdotsqrt{x_{b}^2+y_{b}^2+z_{b}^2}}$$ Приклад. Знайти $$left ( 5vec{a}+3vec{b} right )left ( 2vec{a}-vec{b}...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і $$vec{b}$$ називається вектор $$vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам: $$|vec{c}|=|vec{a}|cdot|vec{b}|sinleft ( widehat{vec{a},vec{b}} right ),;sinleft ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=sinphigeqslant 0, ;0leqslant phileqslant pi$$$$vec{c}perpvec{a},;vec{c}perpvec{b}$$$$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ утворюють праву трійку векторів (див. рисунок) Позначається: $$vec{c}=vec{a}times vec{b},;vec{c}=$$ Властивості векторного добутку: $$left =-left $$.$$left =0$$, якщо $$vec{a}parallel vec{b}$$ або $$vec{a}=0$$, або $$vec{b}=0$$.$$left (lambdavec{a} right )times vec{b}=vec{a}timesleft (lambdavec{b} right )=lambdaleft (vec{a}timesvec{b} right )$$.$$vec{a} times left (vec{b}+vec{c} right )=vec{a}timesvec{b}+vec{a}timesvec{c}$$.$$vec{a} times vec{b}=begin{vmatrix}...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора $$vec{a}"$$ на вектор, який дорівнює векторному добутку векторів $$vec{b}$$ і $$vec{c}$$. Позначається $$vec{a}cdotvec{b}cdotvec{c}$$ або $$left (vec{a},;vec{b},;vec{c} right )$$. Мішаний добуток чисельно (по модулю) дорівнює об’ємові паралелепіпеда, побудованого на векторах $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ (див. рисунок). Властивості мішаного добутку1. Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо: а) принаймні, один із векторів дорівнює нулю;б) два із векторів колінеарні;в) вектори компланарні. 2. $$left (...

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння, яке пов’язує координати будь-якої точки $$M(x;y)$$ (так званої “біжучої” точки), яка розташована на цій лінії. При підстановці координат будь-якої точки, що належить цій лінії, в її рівняння, це рівняння перетворюється в тотожність (задовольняється). Якщо ж в рівняння лінії підставити координати будь-якої точки, яка не належить цій...