Основні означення
Запис $$A_{(n\times m)}$$ слід читати, як матриця $$A$$ розмірності $$(n\times m)$$, де $$n$$ – кількість рядків, а $$m$$ – стовпців.
Матрицею називається таблиця чисел $$A=\begin{pmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1m} \\ \vdots & & \\ a_{n1}& \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}$$.
Визначником називається число, записане певним чином:
$$detA=|A|=\Delta A=\begin{vmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots & & \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$$
Доречно підкреслити, що первісним поняттям для понять «визначник» і «матриця» є поняття квадратної матриці. Отже, визначник розглядається як похідний від матриці або відповідний до неї. Визначник завжди має квадратну форму і має певне значення, тоді як матриця може мати не тільки квадратну, але і прямокутну форму, а також набувати форми стовпця і рядка. Матриця не обчислюється, а тому не має певного значення.
Розглянемо квадратні матриці, визначники другого, третього та більш високого порядку, основні властивості визначників.
Другий порядок
Нехай маємо числа $$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$$. Таблиця, яка має вигляд $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix},$$ зветься квадратною матрицею другого порядку, числа $$a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$$ – її елементами, причому перший індекс у записі числа вказує на номер рядка, в якому стоїть цей елемент, а другий – на номер стовпця.
Визначником другого порядку називається число, яке вираховується таким чином:
$$\Delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$.
Приклади:
$$\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 4 & 6 \end{vmatrix}=3\cdot6-(-2)\cdot4=26$$
$$\begin{vmatrix} \sqrt{a} & -1\\ a & \sqrt{a} \end{vmatrix}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-(-1)\cdot a=2a$$
Третій та більш високий порядок. Основні властивості
Цілком аналогічно, розглядаючи таблицю виду $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$, де $$a_{i,k}, (i=\overline{1,3}, k=\overline{1,3})$$ – деякі числа, назвати її матрицею третього порядку.
Визначником третього порядку називається число, яке вираховується таким чином:
$$\Delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\begin{matrix} a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-\\ -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}. \end{matrix}$$
Для знаходження цього числа можна застосувати один із трьох способів.
Перший – спосіб трикутників або Саррюса – передбачає використання двох схем, в яких елементи визначника зображені точками.
За схемою 1 обчислюється вираз, що є сумою трьох добутків із трьох різних елементів, коли добутки беруться зі своїми знаками.
Схема 1 – Обчислення виразу: $$a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$$
За схемою 2 обчислюється вираз, що є сумою трьох добутків із трьох різних елементів, коли добутки беруть з протилежними знаками.
Схема 2 – Обчислення виразу: $$-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$$
Визначник дорівнює алгебраїчній сумі цих двох виразів, тобто, $$\Delta =\begin{matrix} a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-\\ -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}. \end{matrix}$$
Другий спосіб обчислення визначника третього порядку передбачає дописування перших двох стовпців визначника з правої його сторони і такі обчислення: добутки елементів на головній діагоналі і паралелях до неї (вони беруться зі своїми знаками), добутки побічної діагоналі і паралелях до неї (беруться з протилежними знаками)
Третій спосіб полягає у використанні теореми розкладу – визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Наводимо пояснення: мінором $$M_{ik}$$ елемента $$a_{ik}$$ називається визначник, який утворюють незакреслені елементи визначника, якщо в ньому здійснити закреслення елементів $$i$$-того рядка і $$k$$-того стовпця. Алгебраїчним доповненням $$A_{ik}$$ називається добуток мінора на вираз $$(-1)^{i+k}$$, отже, $$A_{ik}=(-1)^{i+k}M_{ik}$$.
Наведемо основні властивості визначників:
- Величина визначника не зміниться, якщо рядки та стовпці його поміняти місцями.
- Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки або стовпці, то знак зміниться на протилежний.
- Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) помножити на будь-яке число, то величина визначника також помножиться на те саме число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.
- Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпці), то величина його дорівнює нулю. Отже, якщо елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
- Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й теж число.
- Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення (теорема розкладу).
- Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
Приклад: Обчислити визначник третього порядку за допомогою 3 способів.
Знайдемо визначник за правилом Саррюса:
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{vmatrix}=2\cdot1\cdot2+1\cdot3\cdot2+1\cdot5\cdot1-1\cdot1\cdot2-1\cdot5\cdot2-2\cdot3\cdot1=-3$$
Знайдемо визначник, дописав справа перші два стовпця
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 2 & 1\\ 5 & 1\\ 2 & 1 \end{matrix}=2\cdot1\cdot2+1\cdot3\cdot2+1\cdot5\cdot1-1\cdot1\cdot2-2\cdot3\cdot1-1\cdot5\cdot2=-3$$
Спочатку виконаємо деякі перетворення: від другого та третього рядка віднімемо перший рядок (властивість 5), а потім здійснимо розклад визначника за елементами другого стовпця (властивість 6).
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 2\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}=-3$$
Визначники більш високого порядку (більше 3) знаходяться за допомогою теореми розкладу (див. приклад).
Сума матриць
Сумою двох матриць $$A$$ і $$B$$ однакової розмірності називається матриця $$C$$, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць $$A$$ і $$B$$.
Операція додавання матриць має властивості:
- $$A+B=B+A$$
- $$\left (A+B \right )+C=A+(B+C)$$
- $$A+H=A$$, де $$H$$- нульова матриця (всі елементи є нулями).
Приклад:
$$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7\\ 1 & -6 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -5 & 5 & 12\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+(-5) & 5+5 & 7+12\\ 1+1 & -6+4 & 4+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & 10 & 19\\ 2 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$
Добуток матриць
Добутком матриці $$A_{(n\times k)}$$ на матрицю $$B_{(k\times m)}$$ називається матриця $$C_{(n\times m)}$$, кожний елемент якої дорівнює сумі добутків елементів $$i$$-го рядка матриці $$A$$ на відповідні елементи $$j$$-го стовпця матриці $$B$$.
Властивості добутку матриць
- $$A\cdot B\neq B\cdot A$$
- $$\left (A\cdot B \right )\cdot C=A\cdot \left (B\cdot C \right )$$
- $$A\cdot E=E\cdot A=A$$, де $$E$$ – одинична матриця (на головній діагоналі стоять одиниці, інші елементи – нулі)
Приклади:
$$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 4 & 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 3\\ 2 & 4\\ 7&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot0+3\cdot2+5\cdot7 & 1\cdot3+3\cdot4+5\cdot(-1)\\ 4\cdot0+2\cdot2+(-1)\cdot7 & 4\cdot3+2\cdot4+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}=$$
$$=\begin{pmatrix} 41 & 10\\ -3 & 21 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 0 & 2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0+6\\ 1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 &2&3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\-5\\8 \end{pmatrix}$$ неможливо знайти добуток (кількість стовпців першої матриці не збігається з кількістю рядків другої матриці)
Обернена матриця
Оберненою матрицею $$A^{-1}$$ для матриці $$A$$ називають матрицю, для якої виконується рівність $$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$$ і яка має вигляд:
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33} \end{pmatrix}$$, де $$|A|$$ – визначник матриці $$A, A_{ij}$$ – алгебраїчні доповнення.
Для того, щоб знайти обернену матрицю, потрібно:
- Обчислити визначник матриці $$A$$. Якщо $$|A|=0$$, то оберненої матриці не існує. Якщо ні, то виконувати наступні дії.
- Знайти алгебраїчні доповнення до всіх елементів матриці $$A$$.
- Записати обернену матрицю за формулою, що наведена вище. Слід звернути увагу на те, що матриця складена з алгебраїчних доповнень та транспонована (рядки записані замість стовпців, а стовпці замість рядків).
- Зробити перевірку $$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$$.
Приклад:
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{pmatrix}$$
$$|A|=-3$$ (дивись приклади обчислення визначників третього порядку)
$$A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-1$$ ,
$$A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-1$$,
$$A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2$$,
$$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 5 & 3\\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-4$$,
$$A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 2 & 2 \end{vmatrix}=2$$,
$$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3 \end{vmatrix}=-1$$,
$$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3$$,
$$A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=0$$,
$$A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 & 1 \end{vmatrix}=-3$$.
$$A^{-1}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} &\frac{1}{3} &-\frac{2}{3} \\ \frac{4}{3}& -\frac{2}{3} &\frac{1}{3} \\ -1& 0 &1 \end{pmatrix}$$
$$A^{-1}\cdot A=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{pmatrix}=$$
$$=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2-5+4 & -1-1+2 &-1-3+2 \\ -8+10-2 & -4+2-1 & -4+6-2\\ 6+0-6 & 3+0-3& 3+0-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1& 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=E$$
Якщо знайти добуток $$A\cdot A^{-1}$$, то також вийде одинична матриця.
Продолжение: Вычисление определителей третьего и четвертого порядка; Сумма, произведение, транспонирование матриц; Решение СЛУ.