Задание 13
Спростіть вираз $$\left ( 1-\cos^2\alpha \right )\text{ctg}^2\alpha.$$
А | Б | В | Г | Д |
$$\cos^2\alpha$$ | $$\sin2\alpha$$ | $$\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$$ | $$\sin^2\alpha$$ | $$\text{tg}^2\alpha$$ |
Решение:
$$\left ( 1-\cos^2\alpha \right )\text{ctg}^2\alpha=\sin^2\alpha\cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cos^2\alpha$$
Ответ: А.
Задание 14
Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.
А | Б | В | Г | Д |
$$36\pi$$ см2 | $$72\pi$$ см2 | $$144\pi$$ см2 | $$288\pi$$ см2 | $$576\pi$$ см2 |
Решение:
$$S=4\pi R^2=4\pi \cdot 6^2=144\pi$$
Ответ: В.
Задание 15
Пасічник зберігає мед в однакових закритих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох – мед із липи, у п’яти – мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.
А | Б | В | Г | Д |
$$\frac{1}{4}$$ | $$\frac{5}{12}$$ | $$\frac{1}{12}$$ | $$\frac{3}{4}$$ | $$\frac{1}{3}$$ |
Решение:
$$P=\frac{m}{n},$$ где $$m$$ – число благоприятных событий, $$n$$ – число всевозможных событий.
В нашем случае: $$n=12, m=3\Rightarrow P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$
Ответ: А.
Задание 16
На папері у клітинку зображено трикутник $$ABC$$ вершини якого збігаються з вершинами клітинок (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника $$ABC,$$ якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною завдовжки 1 см.
А | Б | В | Г | Д |
15 см2 | 8.5 см2 | 8 см2 | 7.5 см2 | 7 см2 |
Решение:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$
$$a=AC=3, h_{a}=BK=5\Rightarrow S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5=7.5$$
Ответ: Г.
Задание 17
Знайдіть значення похідної функції $$f(x)=4\cos x+5$$ у точці $$x_{0}=\frac{\pi}{2}.$$
А | Б | В | Г | Д |
-4 | -1 | 1 | 4 | 5 |
Решение:
$$f'(x)=-4\sin x\Rightarrow f'(\frac{\pi}{2})=-4\sin \frac{\pi}{2}=-4\cdot 1=-4$$
Ответ: А.
Задание 18
Довжина кола основи конуса дорівнює $$8\pi$$ см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює 3 см.
А | Б | В | Г | Д |
11 см | 10 см | 7 см | 5 см | 4 см |
Решение:
Длина окружности: $$C=2\pi R$$
$$2\pi R=8\pi\Rightarrow R=4$$
Высота конуса $$H=3$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\bigtriangleup AOS:\angle O=90^{\circ}$$
Найдем образующую конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.
$$AS^2=SO^2+AO^2=H^2+R^2=9+16=25\Rightarrow AS=5$$
Ответ: Г.