ВНО 2010 по математике [задания 31-36]

Задание 31

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant -2.$$
Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений

ОДЗ: $$x^2+6x>0\Rightarrow x(x+6)>0$$

$$x\in(-\infty;-6)\cup (0; \infty)$$

Теперь приступим к решению исходного неравенства

$$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant -2\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}\Rightarrow \log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant \log_{\frac{1}{4}}16$$

опустим логарифмы, изменив знак неравенства на противоположный, т.к. основание логарифма $$0<\frac{1}{4}<1$$

$$x^2+6x\leqslant 16\Rightarrow x^2+6x-16\leqslant 0$$

Найдем корни уравнения $$x^2+6x-16=0$$ по теореме Виета:

$$x_{1}+x_{2}=-6, x_{1}\cdot x_{2}=-16\Rightarrow x_{1}=-8, x_{2}=2$$

Получили неравенство: $$(x+8)(x-2)\leqslant 0$$

$$x\in[-8; 2]$$

C учетом ОДЗ, получили:

$$x\in[-8;-6)\cup (0; 2]$$

Целыми решениями являются: $$-8; -7; 1; 2$$ (4 корня)

Ответ: 4.

Задание 32

Обчисліть інтеграл $$\int_{-2}^{1}\left ( x^2-4x \right )dx.$$

Решение:

$$\int_{-2}^{1}\left ( x^2-4x \right )dx=\left ( \frac{x^3}{3}-2x^2 \right )|_{-2}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}-2+8=9$$

Ответ: 9.

Задание 33

Два  кола  дотикаються,  причому  менше  з  кіл  проходить  через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої  фігури  (у см2 ),  якщо  менше  з  кіл  обмежує  круг  площею 64 см2.

Решение:

Пусть $$S$$ — площадь закрашенной фигуры, $$S_1$$ — площадь малого круга, $$S_2$$ — большого круга. $$S=S_{2}-S_{1}, S_{1}=\pi r^2, S_{2}=\pi R^2$$

$$S_{1}=64\Rightarrow \pi r^2=64\Rightarrow r^2=\frac{64}{\pi}$$

$$R=2r\Rightarrow R^2=4r^2\Rightarrow R^2=\frac{4\cdot64}{\pi}$$

$$S_{2}=\pi R^2=\pi\cdot\frac{4\cdot64}{\pi}=256$$

$$S=S_{2}-S_{1}=256-64=192$$

Ответ: 192.

Задание 34

Розв’яжіть рівняння  $$\left | \left | 2x-1 \right |-3 \right |=5.$$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Решение:

Внутренний модуль обнуляется при $$x=\frac{1}{2}.$$ Имеем два случая:

I. $$x<\frac{1}{2}$$

Раскроем внутренний модуль и получим:

$$\left | -2x+1-3 \right |=5\Rightarrow \left | -2x-2 \right |=5\Rightarrow \left | 2x+2 \right |=5$$

Получившийся модуль обнуляется при $$x=-1.$$ Раскроем его при:

1) $$x\in (-\infty;-1)$$

$$-2x-2=5\Rightarrow x=-3.5\in (-\infty;-1)$$ — корень

2) $$2x+2=5\Rightarrow x=1.5\notin [-1; \frac{1}{2})$$ — не корень

II. $$x\geqslant \frac{1}{2}.$$ Раскроем внутренний модуль и получим:

$$\left | 2x-1-3 \right |=5\Rightarrow \left | 2x-4 \right |=5$$

Полученный модуль обнуляется при $$x=2.$$ Раскроем его при:

1) $$x\in(\frac{1}{2}; 2)$$

$$-2x+4=5\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\notin(\frac{1}{2}; 2)$$ — не корень

2) $$x\in[2;\infty)$$

$$2x-4=5\Rightarrow x=4.5\in[2;\infty)$$ — корень

Итак, получили два корня, перемножим их:

$$-3.5\cdot4.5=-15.75$$

Ответ: $$-15.75.$$

Задание 35

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює $$30^{\circ}.$$ Усі бічні грані  піраміди нахилені до площини її основи під кутом $$60^{\circ}.$$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2) , якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.

Решение:

Вспомним следующие свойства пирамиды:

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

$$SABCD$$ — четырехугольная пирамида, $$ABCD$$ — ромб, $$\alpha=\angle BAD=30^{\circ},$$ $$\beta =\angle OES=60^{\circ},$$ $$r=3$$ (Спасибо Viktor Zadvorski за указание на ошибку в решении: $$r\neq OE)$$

Площадь боковой поверхности нашей пирамиды можно найти по формуле: $$S=\frac{1}{2}Ph,$$ где $$P$$ — периметр основания (ромба),  $$h=SE$$ — высота боковой грани.

$$P=4a$$ ($$a$$ сторона ромба). Вспомним формулы вычисления площади ромба:

$$S_{1}=a^2\cdot\sin\alpha$$ и $$S_{1}=\frac{4r^2}{\sin\alpha}$$

$$a^2\sin\alpha=\frac{4r^2}{\sin\alpha}\Rightarrow a^2=\frac{4r^2}{\sin^2\alpha}\Rightarrow a=\frac{2r}{\sin\alpha}\Rightarrow P=\frac{8r}{\sin\alpha}$$

$$OE$$ является средней линией треугольника $$ACD (AO=OC, DE=EC),$$ значит

$$OE=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}=\frac{r}{\sin\alpha}$$

Из прямоугольного треугольника $$SOE:$$

$$h=SE=\frac{OE}{\cos\beta}=\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}$$

Значит площадь боковой поверхности:

$$S=\frac{1}{2}Ph=\frac{1}{2}\cdot\frac{8r}{\sin\alpha}\cdot\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}=\frac{8r^2}{2\sin^2\alpha\cos\beta}$$

$$S=\frac{8\cdot3^2}{2\cdot(\sin30^{\circ})^2\cdot\cos60^{\circ}}=\frac{72}{2\cdot(\frac{1}{2})^2\cdot\frac{1}{2}}=72\cdot4=288$$

Ответ: 288.

Задание 36

Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} 5\cos\frac{\pi y}{2}=x^2-8x+21, \\ y+5x-4=0. \end{matrix}\right.$$

Якщо система має єдиний розв’язок  $$(x_{0};y_{0}),$$ то у відповідь запишіть суму $$x_{0}+y_{0};$$ якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Решение:

ОДЗ:

 $$\left | \cos\alpha \right |\leqslant 1\Rightarrow \left | \frac{x^2-8x+21}{5} \right |\leqslant 1$$

Решим данное неравенство:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-8x+21}{5}\leqslant 1\\ \frac{x^2-8x+21}{5}\geqslant -1 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^2-8x+21\leqslant 5\\ x^2-8x+21\geqslant -5 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$

$$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^2-8x+16\leqslant 0\\ x^2-8x+26\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$

Рассмотрим отдельно каждое из неравенств:

1) $$x^2-8x+16\leqslant 0$$ или $$(x-4)^2\leqslant 0$$

Но $$(x-4)^2\geqslant 0$$ $$\Rightarrow (x-4)^2= 0\Rightarrow x=4$$

2) $$x^2-8x+26\geqslant 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$x^2-8x+26= 0$$ для четного $$b:$$

$$D_{1}=b_{1}^2-a\cdot c$$

$$a=1, b_{1}=\frac{b}{2}=-4, c=26$$

$$D_{1}=16-26<0$$ — нет действительных корней.

Значит квадратный трехчлен $$x^2-8x+26$$ всегда положительный, т.к. $$a=1>0,$$ т.е. $$\forall x\in\mathbb{R}:x^2-8x+26>0$$

Получили систему:

$$\left\{\begin{matrix} x=4\\ x\in(-\infty; \infty) \end{matrix}\right.$$

Решением системы является $$x=4$$

Итак, ОДЗ: $$x=4$$

Из второго уравнения первоначальной системы выразим $$y$$ и подставим $$x=x_{0}=4$$

$$y=4-5x\Rightarrow y_{0}=4-5\cdot4=-16$$

Получили единственное решение системы $$(x_{0};y_{0})$$

$$x_{0}+y_{0}=4+(-16)=-12$$

Ответ: $$-12.$$

Поделиться

Обратите внимание

ВНО 2010 по математике [задания 1-6]

Задание 1 Розв'яжіть нерівність $$10-3x>4.$$ АБВГД $$(-2;infty)$$ $$(2;infty)$$$$(-3;infty)$$$$(-infty;-2)$$$$(-infty;2)$$ Решение: $$10-3x>4Rightarrow...

ВНО 2010 по математике [задания 7-12]

Задание 7 Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $$2^x=frac{1}{8}?$$ АБВГД $$(-6;-4]$$$$(-4;-2]$$ $$(-2;0]$$$$(0;2]$$ $$(2;4]$$

ВНО 2010 по математике [задания 13-18]

Задание 13 Спростіть вираз $$left ( 1-cos^2alpha right )text{ctg}^2alpha.$$ АБВГД $$cos^2alpha$$ $$sin2alpha$$ $$frac{sin^4alpha}{cos^2alpha}$$$$sin^2alpha$$ $$text{tg}^2alpha$$ Решение:

ВНО 2010 по математике [задания 19-24]

Задание 19 Якому з наведених проміжків належить число $$sqrt{30}?$$ АБВГД (1;2) (2;3) (3;4) (4;5) (5;6) Решение:

ВНО 2010 по математике [задания 25-30]

Задание 25 На рисунку зображено ескіз графіка функції $$y=ax^2+bx+c.$$Укажіть правильне твердження щодо коефіцієнтів $$a, b, c.$$

Материалы по теме

ЗНО — 2010 з математики. 1 сесія. Онлайн тест

Пройдите онлайн тест первой сессии внешнего независимого оценивания по математике за 2010...

Тестовые задания ЗНО — 2010 (2 сессия)

Тестовые задания второй сессии ЗНО (ВНО) 2010 по математике в формате PDF

Тестовые задания ЗНО — 2010 (1 сессия)

Тестовые задания первой сессии ЗНО (ВНО) 2010 по математике в формате PDF

ВНО 2010 по математике [задания 25-30]

Задание 25 На рисунку зображено ескіз графіка функції...