ВНО 2011 по математике [задания 29-35]

Задание 29

Обчисліть значення виразу $$\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}.$$.

Решение:

$$\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=$$

$$=\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+2\sqrt{2}-10=\frac{3\sqrt{2}-5+4-2\sqrt{2}-10\sqrt{2}+10}{\sqrt{2}-1}=$$

$$=\frac{9-9\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{-9(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}=-9$$

Ответ: -9.

Задание 30

Матеріальна точка рухається за законом $$s(t)=2t^2+3t,$$ де $$S$$ вимірюється в метрах, а $$t$$ у секундах. Знайдіть значення $$t$$ (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 76 м/с.

Решение:

$$s^{\prime}$$ — мгновенная скорость материальной точки.

$$s^{\prime}(t)=4t+3\Rightarrow 4t+3=76\Rightarrow 4t=73\Rightarrow t=18.25$$

Ответ: 18.25

Задание 31

У відділі працює певна кількість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибрали одного із співробітників. Імовірність того, що це чоловік, дорівнює $$\frac{2}{7}.$$ Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.

Решение:

Вероятность события $$A:P(A)=\frac{m}{n},$$ где $$m$$ — число благоприятных исходов, $$n$$ — число всех исходов. Значит количество мужчин равно $$2,$$ а количество женщин равно $$7-2=5.$$

Отношение количества женщин к количеству мужчин равно $$\frac{5}{2}=2.5$$

Ответ: 2.5.

Задание 32

Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за 2 години 6 хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, працюючи самостійно, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на 4 години більше, ніж першому робітникові?

Решение:

Пусть второму работнику для выполнения всего задания понадобится $$x$$ часов, тогда первому — $$(x-4)$$ часов. Вместе им понадобится 2 часа 6 минут, т.е. $$2\frac{6}{60}=2.1$$ часа.

$$\frac{1}{x-4}$$ — часть работы, которую выполнит первый рабочий.

$$\frac{1}{x}$$ — часть работы, которую выполнит второй рабочий.

$$\frac{1}{2.1}$$ — часть работы, которую выполнят вместе.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2.1} \sim \frac{1}{x-4}+\frac{1}{x}=\frac{10}{21}$$

Перенесем в одну сторону, приведем к общему знаменателю и запишем под одной дробью:

$$\frac{21\cdot x+21\cdot (x-4)-10\cdot x\cdot (x-4)}{21\cdot x\cdot (x-4)}=0$$

Раскроем скобки и запишем числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$21x+21x-84-10x^2+40x=0,21\cdot x\cdot (x-4)\neq0$$

Приведем подобные слагаемые:

$$10x^2-82x+84=0,x\neq 0, x\neq 4$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$5x^2-41x+42=0$$

$$D=41^2-4\cdot5\cdot42=1682-840=841=29^2$$

$$x_{1}=\frac{41-29}{10}=1.2, x_{2}=\frac{41+29}{10}=7$$

$$x_{1}=1.2$$ — посторонний корень (иначе $$x-4<0)$$

Значит второму рабочему понадобится 7 часов на самостоятельное выполнение задания.

Ответ: 7.

Задание 33

У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 13 см і основами 18 см і 8 см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса $$S$$ (у см2), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом $$60^{\circ}.$$ У відповіді запишіть значення $$\frac{S}{\pi}.$$

Решение:

 Площадь боковой поверхности конуса $$S=\pi R l,$$ где $$l$$ — образующая конуса, $$R$$ — радиус основания.

$$ABCD$$ — равнобокая трапеция: $$AD=18,BC=8, AB=CD=13$$ (см. рисунок слева)

Проведем высоты из точек $$B$$ и $$C$$ на $$AD.$$ $$BK=2R$$ — высота трапеции и катет прямоугольного треугольника $$AKB.$$ $$AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{18-8}{2}=5.$$

$$BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

$$R=\frac{BK}{2}=6$$

Из прямоугольного треугольника (см. рисунок справа) $$l=\frac{R}{\cos 60^{\circ}}=6:\frac{1}{2}=12$$

$$\frac{S}{\pi}=R\cdot l=6\cdot 12=72$$

Ответ: 72.

Задание 34

На рисунку зображено графік функції $$y=f(x),$$ що визначена на проміжку $$\left ( -\infty;\infty \right )$$ і має лише три нулі. Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} f(x)&\geqslant 0 \\ x^2+x-6&>0. \end{matrix}\right.$$

У відповіді запишіть суму всіх цілих розв’язків системи.

Решение:

$$f(x)\geqslant 0\Rightarrow x\in [-1;6]\cup \left \{ 9 \right \}$$

$$x^2+x-6>0\sim (x+3)(x-2)>0$$ (из уравнения $$x^2+x-6=0$$ по теореме Виета: $$x_{1}=-3,x_{2}=2)$$

$$x\in(-\infty;-3)\cup(2;\infty)$$

$$x\in(2;6]\cup\left \{ 9 \right \}$$

Сумма всех целых решений: $$3+4+5+6+9=27$$

Ответ: 27.

Задание 35

Знайдіть найменше значення $$a,$$ при якому має розв’язки рівняння $$\frac{1}{2}(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=6-5a-2a^2$$

Решение:

$$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=6-5a-2a^2$$

$$\cos 60^{\circ}\sin x+\sin 60^{\circ}\cos x=6-5a-2a^2$$

$$\sin (60^{\circ}+ x)=6-5a-2a^2$$

Простейшее тригонометрическое уравнение:

$$\sin x=a, |a|\leqslant 1$$

$$x=(-1)^k \arcsin a+\pi k,k\in\mathbb{Z}$$

$$|6-5a-2a^2|\leqslant 1$$

$$\left\{\begin{matrix} 6-5a-2a^2\leqslant 1\\ 6-5a-2a^2\geqslant -1 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} 2a^2+5a-5\geqslant 0\\ 2a^2+5a-7 \leqslant 0 \end{matrix}\right.$$

$$2a^2+5a-5= 0, D=25+40=65,a_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{65}}{4}$$

$$2a^2+5a-7 =0, D=25+56=81,a_{3,4}=\frac{-5\pm 9}{4}$$

$$a_{1}=\frac{-5-\sqrt{65}}{4}>-3.5,a_{2}=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}<1, a_{3}=-3.5,a_{4}=1$$

$$\left\{\begin{matrix} (a-\frac{-5-\sqrt{65}}{4})(a-\frac{-5+\sqrt{65}}{4})\geqslant 0\\ (a+3.5)(a-1) \leqslant 0 \end{matrix}\right.$$

$$a\in \left ( -\infty; \frac{-5-\sqrt{65}}{4}\right ]\cup\left [ \frac{-5+\sqrt{65}}{4};\infty \right )$$

$$a\in[-3.5;1]$$

$$a\in[-3.5;\frac{-5-\sqrt{65}}{4}]\cup[\frac{-5+\sqrt{65}}{4};1]$$

$$a_{min}=-3.5$$

Ответ: -3.5.

Поделиться

Обратите внимание

ВНО 2011 по математике [задания 1-7]

Тест внешнего независимого оценивания по математике в 2011 году состоит из заданий трех форм: 25 заданий с выбором одного правильного ответа (с...

ВНО 2011 по математике [задания 8-14]

Задание 8 Журнал коштував 25 грн. Через два місяці цей самий журнал став коштувати 21 грн. На скільки...

ВНО 2011 по математике [задания 15-21]

Задание 15 Обчисліть площу чотирикутника $$ABCD$$ (див. рисунок), сторони якого паралельні вісі $$Oy.$$

ВНО 2011 по математике [задания 22-28]

Задание 22 На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об'єм.

Материалы по теме

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.