Задание 11
У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у залі?
| А | Б | В | Г | Д |
| 369 | 432 | 438 | 450 | 864 |
Решение:
Задача на арифметическую прогрессию. Нам понадобятся следующая формула для вычисления суммы 18-первых членов арифметической прогрессии:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_1+d\cdot (n-1)}{2}\cdot n$$
В нашем случае $$a_1=7, d=2, n=18$$
$$s_{18}=\frac{2\cdot 7+2\cdot 17}{2}\cdot{18}=24\cdot 18=432$$
Ответ: Б.
Задание 12
Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.
| А | Б | В | Г | Д |
| $$800\pi$$ см2 | $$360\pi$$ см2 | $$288\pi$$ см2 | $$260\pi$$ см2 | $$160\pi$$ см2 |
Решение:
При вращении прямоугольника вокруг его стороны получаем цилиндр. Полная площадь полученной фигуры будет состоять из суммы трех площадей:
$$S=S_{1}+2\cdot S_{2}$$
$$S_1$$ – площадь боковой поверхности цилиндра, $$S_2$$ – площадь круга (основание цилиндра)
$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2$$
$$S_{1}=2\pi RH, S_{2}=\pi R^2, R=10, H=8\Rightarrow$$
$$\Rightarrow S=2\pi \cdot10\cdot 8+2 \pi \cdot 10^2=360\pi$$
Ответ: Б.
Задание 13
Якому проміжку належить значення виразу $$\sin 410^{\circ}?$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$(-1;-\frac{1}{2})$$ | $$(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$ | $$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$ | $$(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$ | $$(\frac{\sqrt{3}}{2};1)$$ |
Решение:
$$\sin 410^{\circ}=\sin(360^{\circ}+50^{\circ})=\sin 50^{\circ}$$
$$45^{\circ}<50^{\circ}<60^{\circ}, \sin 45^{\circ}= \frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ}= \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 45^{\circ}\in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right )$$
Т.к. на промежутке от $$0^{\circ}$$ до $$90^{\circ}$$ функция $$\sin x$$ возрастает.
Ответ: Г.
Задание 14
З міст А і В, відстань між якими по шосе становить 340 км, одночасно назустріч один одному виїхали автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями 65 км/год відповідно. Автобус і маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити відстань $$S$$ (у км) між автобусом і маршрутним таксі по шосе через $$t$$ годин після початку руху?
| А | Б | В | Г | Д |
| $$S=340-145t$$ | $$S=340-15t$$ | $$S=15t-340$$ | $$S=145t-340$$ | $$S=340+145t$$ |
Решение:
После $$t$$ часов после начала движения автобус и маршрутное такси проедут расстояние, равное $$65t$$ км и $$80t$$ км соответственно, а вместе $$145t$$ км. Так как общее расстояние $$S$$ равно 340 км, то расстояние между автобусом и маршрутным такси через $$t$$ часов после начала движения можно вычислить по формуле: $$S=340-145t$$
Ответ: А.
Задание 15
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема – 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| $$\frac{3}{5}$$ | $$\frac{1}{5}$$ | $$\frac{3}{4}$$ | $$\frac{4}{5}$$ | $$\frac{4}{3}$$ |
Решение:
Введем следующие обозначения: $$H$$ – высота правильной четырехугольной пирамиды, $$h$$ – высота боковой грани (апофема) правильной четырехугольной пирамиды, $$\alpha$$ – угол между плоскостью боковой поверхности пирамиды и плоскостью основания. Рассмотрим треугольник (см. рисунок)
Из определения тригонометрических функций находим
$$\sin\alpha =\frac{H}{h}=\frac{4}{5},$$
тогда из основного тригонометрического тождества находим
$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}= \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$
Ответ: А.
Задание 16
На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см2. Точка М належить стороні BC. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.
| А | Б | В | Г | Д |
| 20 см2 | 45 см2 | 35 см2 | 40 см2 | 30 см2 |
Решение:
Из точки М на сторону AD $$(a)$$ опускаем перпендикуляр $$h_a,$$ который является высотой треугольника AMD и параллелограмма ABCD. Воспользуемся формулами нахождения площадей треугольника $$S_1$$ и параллелограмма $$S_2$$ через высоту.
$$S_{1}=a\cdot h_{a}, S_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$
$$S_{2}=60\Rightarrow S_{1}=30$$
Значит площадь фигуры, состоящей из закрашенных треугольников равна:
$$S_{3}=S_{2}-S_{1}=30$$
Ответ: Д.
Задание 17
Розв’яжіть нерівність $$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{4}{\pi})^3$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$(-3;\infty)$$ | $$(3;\infty)$$ | $$(-\infty;3)$$ | $$(-\infty;-3)$$ | $$(-\infty;\frac{1}{3})$$ |
Решение:
Перейдем к основанию $$\frac{\pi}{4}$$
$$(\frac{\pi}{4})^x<(\frac{\pi}{4})^{-3}$$
Так как $$\frac{\pi}{4}$$ больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный при переходе к выражениям, стоящим в степенях, то есть получим $$x>-3.$$
Ответ: А.
Задание 18
У прямокутнику ABCD: BC=80, AC=100. Через точки М і К, що належать сторонам АВ і ВС відповідно, проведено пряму, паралельну АС. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника МВК, якщо ВК=20.
| А | Б | В | Г | Д |
| 60 | 50 | 30 | 25 | 15 |
Решение:
$$AC$$ – диагональ прямоугольника
$$MK \parallel AC$$
$$\triangle MBK\sim \triangle ABC\Rightarrow \frac{MK}{AC}=\frac{BK}{BC}$$
$$MK=\frac{BK\cdot AC}{BC}=\frac{20\cdot 100}{80}=25$$
Ответ: Г.
Задание 19
Укажіть множину всіх значень $$a,$$ при яких виконується рівність $$|a^3-a^2|=a^3-a^2.$$
| А | Б | В | Г | Д |
| $$(-\infty;-1]\cup [1;\infty)$$ | $$[1;\infty)$$ | $$(-\infty;-1]\cup \left \{ 0 \right \}$$ | $$[0;1]$$ | $$\left \{ 0 \right \}\cup [1;\infty)$$ |
Решение:
$$a^3-a^2\geqslant 0\Rightarrow a^2\cdot (a-1)\geqslant 0\Rightarrow a=0, a\geqslant 1$$
Ответ: Д.
Задание 20
Функція $$f(x)$$ має в точці $$x_0$$ похідну $$f'(x_{0})=-4.$$ Визначте значення похідної функції $$g(x)=2\cdot f(x)+7x-3$$ в точці $$x_0.$$
| А | Б | В | Г | Д |
| 15 | 12 | -1 | -4 | -8 |
Решение:
$$g'(x)=2\cdot f'(x)+7$$
$$g'(x_{0})=2\cdot f'(x_{0})+7=2\cdot (-4)+7=-1$$
Ответ: В.
Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.