ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Задание №21

До кожного виразу при $$a>0$$ доберіть тотожно йому рівний.

1 $$\frac{2a^5}{a^6}$$ А$$2a^{-1}$$
2$$(2a)^5\cdot a^6$$Б$$2a^{\frac{6}{5}}$$
3$$(2a^6)^5$$В$$2a^{\frac{5}{6}}$$
4$$\sqrt[6]{64a^5}$$Г$$32a^{30}$$
Д$$32a^{11}$$

Решение:

Задание на упрощение выражения. Воспользуемся свойствами корней и степеней, получим:

$$\frac{2a^5}{a^6}=2a^{5-6}=2a^{-1}$$

$$(2a)^5\cdot a^6=2^5a^5a^6=32a^{5+6}=32a^{11}$$

$$(2a^6)^5=2^5a^{5\cdot 6}=32a^{30}$$

$$\sqrt[6]{64a^5}=(2^6a^5)^{\frac{1}{6}}=(2^6)^{\frac{1}{6}}(a^5)^{\frac{1}{6}}=2a^{\frac{5}{6}}$$

Ответ: 1-А; 2-Д; 3-Г; 4-В.

Задание №22

Кожній точці поставте у відповідність функцію, графіку якої належить ця точка.

1$$K(0;1)$$А$$y=2x+2$$
2$$N(-1;0)$$Б$$y=\text{ctg}x$$
3$$O(0;0)$$В$$y=\text{tg}x$$
4$$M(0;-1)$$Г$$y=\sqrt{x}-1$$
Д$$y=2^x$$

Решение:

Проверяется подстановкой координат точек в функцию.

$$O(0;0)\in y=\text{tgx}$$

$$M(0;-1)\in y=\sqrt{x}-1$$

$$N(-1;0)\in y=2x+2$$

$$K(0;1)\in y=2^x$$

Ответ: 1-Д; 2-А; 3-В; 4-Г.

Задание №23

Розв’яжіть рівняння. Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів на відрізку $$[-5;5]$$

1$$x^4+5x^2+4=0$$Ажодного
2$$\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0$$Бодин
3$$\log _{3}x=-2$$Вдва
4$$\cos ^2 x-\sin^2x=1$$Гтри
Дчотири

Решение:

1) $$\cos ^2 x-\sin^2x=1\Rightarrow \cos2x=1\Rightarrow 2x=2\Pi n,n \in \mathbb{Z}\Rightarrow$$

$$x=\Pi n,n \in \mathbb{Z}, \Pi\approx 3.14$$

$$x=-\Pi;0;\Pi$$ — корни, которые принадлежат отрезку $$[-5;5]$$

3 корня

2) $$\log _{3}x=-2\Rightarrow \log _{3}x=\log _{3}3^{-2}\Rightarrow x=\frac{1}{9}$$

1 корень

3) $$\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0\Rightarrow \frac{x^2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0$$

$$x=0, x=2, x\neq -2, x^2-2x+4\neq 0,$$ т.к. $$D_{1}=1-4<0$$

2 корня

4) $$x^4+5x^2+4=0\Rightarrow x^2=t\geqslant 0, t^2+5t+4=0$$

По теореме Виета: $$t_{1}=-1<0, t_{2}=-4<0$$ — не удовлетворяют условию $$t\geq 0$$

корней нет

Ответ: 1-А; 2-В; 3-Б; 4-Г.

Задание №24

На рисунку зображено куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$. До кожного початку речення доберіть його закінчення так, щоб утворилося правильне твердження.

1Пряма $$A_{1}B$$Апаралельна площині $$AA_{1}B_{1}B$$
2Пряма $$AC$$Б$$AA_{1}B_{1}B$$ перпендикулярна площині
3Пряма $$CD_1$$Вналежить площині $$AA_{1}B_{1}B$$
4Пряма $$CB$$Гмає з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ лише дві спільні точки
Дутворює з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ кут $$45^{\circ}$$

Решение:

Пряма $$CB$$ перпендикулярна площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Пряма $$CD_1$$ паралельна площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Пряма $$AC$$ утворює з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ кут $$45^{\circ}$$

Пряма $$A_{1}B$$ належить площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Задание №25

Батьки разом із двома дітьми: Марійкою (4 роки) та Богданом (7 років) — збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше троьх атракціонів і кожний атракціон — лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паравозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скористувавшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у грн), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.

Назва атракціонуВартість 1 квитка для 1 дитини, грн
Веселі гірки17
Паравозик16
Електричні машинки20
Карусель12
Батут15
Дитяча рибалка8
Лебеді13

Решение:

Т.к. Богдан не пойдет на «Паравозик», то по максимально возможной цене для него остаются билеты на следующие аттракционы: «Электрические машинки» (20 грн), «Веселые горки» (17 грн) и «Батут» (15 грн). Итого 20+17+15=52 грн.

Т.к. Марийке 4 года, то она не может пойти на аттракционы «Электрические машинки» и «Веселые горки», значит по максимально возможной цене для нее остаются билеты на следующие аттракционы: «Паравозик» (16 грн), «Батут» (15 грн) и «Лебеди» (13 грн). Итого 16+15+13=4 4грн.

Получаем: 52+44=96 грн — максимальная сумма, которую потратят родители на приобретение билетов.

Ответ: 96 грн.

Задание №26

Скільки існує різних дробів $$\frac{a}{b},$$ якщо $$a$$ набуває значень 1; 2 або 4, а $$b$$ набуває значень 5; 7; 11; 13 або 17?

Решение:

Задача на «Правило умножения».

Согласно правилу умножения, если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Естественным образом обобщается на произвольную длину последовательности.

$$a$$ и $$b$$ можно выбрать 3-мя и 5-ю способами соответственно, значит по правилу умножения существует 15 разных дробей вида $$\frac{a}{b}.$$

Ответ: 15.

Задание №27

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} y-x=9\\ \frac{x+8}{2y-5}=2 \end{matrix}\right.$$. Запишіть у відповідь добуток $$x_{0}\cdot y_{0},$$ якщо пара $$(x_{0}; y_{0})$$ є розв’язком цієї системи рівнянь.

Решение:

Из первого уравнения выразим $$y=x+9$$ и подставим его во второе уравнение системы.

$$\frac{x+8}{2(x+9)-5}=2\Rightarrow \frac{x+8}{2x+18-5}=2\Rightarrow \frac{x+8}{2x+13}=2\Rightarrow$$

$$\frac{x+8}{2x+13}-\frac{2(2x+13)}{2x+13}=0\Rightarrow \frac{x+8-4x-26}{2x+13}=0\Rightarrow$$

$$\frac{-3x-18}{2x+13}=0\Rightarrow -3x-18=0, 2x+13\neq 0\Rightarrow$$

$$x=-6, x\neq -\frac{13}{2}\Rightarrow y=-6+9\Rightarrow y=3$$

$$x_{0}=-6, y_{0}=3\Rightarrow x_{0}\cdot y_{0}=-18$$

Ответ: -18.

Задание №28

Обчисліть значення виразу $$\log_{a}500-\log_{a}4$$, якщо $$\log_{5}a=\frac{1}{4}.$$

Решение:

$$\log_{a}500=\log_{a}{5^3\cdot 4}=\log_{a}5^3+\log_{a}4=3\log_{a}5+\log_{a}4$$

Подставим в первоначальное выражение

$$\log_{a}500-\log_{a}4=3\log_{a}5-\log_{a}4+\log_{a}4=3\log_{a}5=\frac{3}{\log_{5}a}$$

Но по условию $$\log_{5}a=\frac{1}{4}$$, значит $$\frac{3}{\log_{5}a}=3:\frac{1}{4}=12$$

Ответ: 12.

Задание №29

У трикутнику $$\triangle ABC$$ основа висоти $$AK$$ лежить на продовженні сторони $$BC$$ (див. рисунок). $$AK=6,KB=2\sqrt{3}$$. Радіус описаного навколо трикутника $$\triangle ABC$$ кола дорівнює $$15\sqrt{3}.$$ Визначте довжину $$AC$$.

Решение:

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AKB$$ по теореме Пифагора найдем $$AB.$$

$$AB^2=AK^2+BK^2\Rightarrow AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=$$

$$=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$$

Воспользуемся формулой для вычисления высоты в произвольном треугольнике:

$$h_{a}=\frac{bc}{2R}$$, где $$h_a$$ — высота, опущенная на сторону $$a,$$ $$R$$ — радиус окружности, описаной около треугольника. $$b$$ и $$c$$ — две другие стороны треугольника.

Т.о. $$AK=\frac{AB\cdot AC}{2R}\Rightarrow AC=\frac{AK\cdot 2R}{AB}=\frac{6\cdot 2\cdot 15 \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=45$$

Ответ: 45.

Задание №30

Обчисліть $$\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx,$$ використовуючи рівняння кола $$x^2+y^2=25,$$ зображеного на рисунку.

Решение:

Определенный интеграл $$\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx$$ — площадь четверти круга (см. рисунок)

Площадь круга вычисляется по формуле: $$S=\pi R^2$$

Значит $$\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi 5^2}{4}=6.25\pi$$

Отсюда $$\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=6.25$$

Ответ: 6.25.

Задание №31

Основою прямої призми $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ є рівнобічна трапеція $$ABCD$$. Основа $$AD$$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $$BC$$. Через бічне ребро $$CC_1$$ призми проведено площину паралельно ребру $$AB.$$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює 672 см3, а її висота — 8 см.

Решение:

Объем призмы можно вычислить по формуле: $$V=SH$$, где $$S$$ — площадь основания, $$H$$ — высота призмы. Площадь трапеции можно вычислить по формуле: $$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h,$$ где $$BC, AD$$ — основания трапеции, $$h$$ — высота трапеции.

По условию $$h=AD=6BC.$$ Подставим в формулу вычисления площади трапеции, а затем вычислим $$BC:$$

$$S=\frac{BC+6BC}{2}\cdot 6BC=21BC^2\Rightarrow V=21BC^2\cdot H\Rightarrow BC=\sqrt{\frac{V}{21H}}$$

$$\Rightarrow BC=\sqrt{\frac{V}{21H}}=\sqrt{\frac{672}{21\cdot 8}}=\sqrt{4}=2$$

Значит $$h=AD=6\cdot 2=12.$$

Трапеция равнобедренная, т.е. $$AB=DC$$. Если опустить высоты из точек $$B$$ и $$C$$ на $$AD,$$ то получится прямоугольник, а слева и справа от него два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

$$\triangle ABK: \angle K=90^{\circ}, BK=h=12, AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5.$$

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

$$AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Сечение призмы — прямоугольник со сторонами, равными стороне $$AB$$ и высоте $$H.$$

Площадь этого сечения равна: $$S_{1}=AB\cdot H=13\cdot 8=104.$$

Ответ: 104.

Задание №32

При якому найменшому цілому значенні параметра $$a$$ рівняння

$$\sqrt{2x+15}\cdot (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a\sqrt{2x+15}$$

має лише два різні корені?

Решение:

ОДЗ: $$2x+15\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant -7.5$$

$$\sqrt{2x+15}\cdot (\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2})-a\sqrt{2x+15}=0$$

$$\sqrt{2x+15}\cdot (|x+9|-|x-5|-a)=0$$

$$\sqrt{2x+15}=0$$ или $$|x+9|-|x-5|-a=0$$

$$x= -7.5$$ или $$|x+9|-|x-5|-a=0$$

Модули обнуляются соответственно при $$x= -9$$ и $$x= 5$$

С учетом этого и ОДЗ, получаем 2 промежутка: $$x \in [-7.5;5)$$ и $$x \in [5;+\infty)$$

I. $$x \in [-7.5;5).$$ Раскроем модули: $$x+9+x-5-a=0\Rightarrow x=\frac{a-4}{2}$$

из ОДЗ и условия лишь 2 разных корней: $$\frac{a-4}{2}> -7.5\Rightarrow a>-11\Rightarrow a=-10$$

II. $$x \in [5;+\infty)$$

$$x+9-x+5-a=0\Rightarrow a=14 (\forall x\in \mathbb{R})$$

Получили бесконечное множество решений, что не удовлетворяет условию.

Ответ: -10.

Поделиться

Обратите внимание

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 1-10]

Решение тестовых заданий 1-10 ВНО (ЗНО) - 2012 по математике. Основное тестирование. 1 сессия...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 11-20]

Задание 11 У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 1-4

Предлагаем ознакомиться с тестовыми заданиями второй сессии внешнего независимого оценивания (ВНО) по математике за 2012 год в формате PDF

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 5-8

Решение заданий 5-8 Задание 5 Використовуючи зображені на рисунку графіки...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 9-12

Решение заданий 9-12 Задание 9 На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $$y=-frac{1}{x}$$?

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.