ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Задание №21

До кожного виразу при $$a>0$$ доберіть тотожно йому рівний.

1 $$\frac{2a^5}{a^6}$$А$$2a^{-1}$$
2$$(2a)^5\cdot a^6$$Б$$2a^{\frac{6}{5}}$$
3$$(2a^6)^5$$В$$2a^{\frac{5}{6}}$$
4$$\sqrt[6]{64a^5}$$Г$$32a^{30}$$
Д$$32a^{11}$$

Решение:

Задание на упрощение выражения. Воспользуемся свойствами корней и степеней, получим:

$$\frac{2a^5}{a^6}=2a^{5-6}=2a^{-1}$$

$$(2a)^5\cdot a^6=2^5a^5a^6=32a^{5+6}=32a^{11}$$

$$(2a^6)^5=2^5a^{5\cdot 6}=32a^{30}$$

$$\sqrt[6]{64a^5}=(2^6a^5)^{\frac{1}{6}}=(2^6)^{\frac{1}{6}}(a^5)^{\frac{1}{6}}=2a^{\frac{5}{6}}$$

Ответ: 1-А; 2-Д; 3-Г; 4-В.

Задание №22

Кожній точці поставте у відповідність функцію, графіку якої належить ця точка.

1$$K(0;1)$$А$$y=2x+2$$
2$$N(-1;0)$$Б$$y=\text{ctg}x$$
3$$O(0;0)$$В$$y=\text{tg}x$$
4$$M(0;-1)$$Г$$y=\sqrt{x}-1$$
Д$$y=2^x$$

Решение:

Проверяется подстановкой координат точек в функцию.

$$O(0;0)\in y=\text{tgx}$$

$$M(0;-1)\in y=\sqrt{x}-1$$

$$N(-1;0)\in y=2x+2$$

$$K(0;1)\in y=2^x$$

Ответ: 1-Д; 2-А; 3-В; 4-Г.

Задание №23

Розв’яжіть рівняння. Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів на відрізку $$[-5;5]$$

1$$x^4+5x^2+4=0$$Ажодного
2$$\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0$$Бодин
3$$\log _{3}x=-2$$Вдва
4$$\cos ^2 x-\sin^2x=1$$Гтри
Дчотири

Решение:

1) $$\cos ^2 x-\sin^2x=1\Rightarrow \cos2x=1\Rightarrow 2x=2\Pi n,n \in \mathbb{Z}\Rightarrow$$

$$x=\Pi n,n \in \mathbb{Z}, \Pi\approx 3.14$$

$$x=-\Pi;0;\Pi$$ — корни, которые принадлежат отрезку $$[-5;5]$$

3 корня

2) $$\log _{3}x=-2\Rightarrow \log _{3}x=\log _{3}3^{-2}\Rightarrow x=\frac{1}{9}$$

1 корень

3) $$\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0\Rightarrow \frac{x^2(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0$$

$$x=0, x=2, x\neq -2, x^2-2x+4\neq 0,$$ т.к. $$D_{1}=1-4<0$$

2 корня

4) $$x^4+5x^2+4=0\Rightarrow x^2=t\geqslant 0, t^2+5t+4=0$$

По теореме Виета: $$t_{1}=-1<0, t_{2}=-4<0$$ — не удовлетворяют условию $$t\geq 0$$

корней нет

Ответ: 1-А; 2-В; 3-Б; 4-Г.

Задание №24

На рисунку зображено куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$. До кожного початку речення доберіть його закінчення так, щоб утворилося правильне твердження.

1Пряма $$A_{1}B$$Апаралельна площині $$AA_{1}B_{1}B$$
2Пряма $$AC$$Б$$AA_{1}B_{1}B$$ перпендикулярна площині
3Пряма $$CD_1$$Вналежить площині $$AA_{1}B_{1}B$$
4Пряма $$CB$$Гмає з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ лише дві спільні точки
Дутворює з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ кут $$45^{\circ}$$

Решение:

Пряма $$CB$$ перпендикулярна площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Пряма $$CD_1$$ паралельна площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Пряма $$AC$$ утворює з площиною $$AA_{1}B_{1}B$$ кут $$45^{\circ}$$

Пряма $$A_{1}B$$ належить площині $$AA_{1}B_{1}B$$

Задание №25

Батьки разом із двома дітьми: Марійкою (4 роки) та Богданом (7 років) — збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше троьх атракціонів і кожний атракціон — лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паравозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скористувавшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у грн), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.

Назва атракціонуВартість 1 квитка для 1 дитини, грн
Веселі гірки17
Паравозик16
Електричні машинки20
Карусель12
Батут15
Дитяча рибалка8
Лебеді13

Решение:

Т.к. Богдан не пойдет на «Паравозик», то по максимально возможной цене для него остаются билеты на следующие аттракционы: «Электрические машинки» (20 грн), «Веселые горки» (17 грн) и «Батут» (15 грн). Итого 20+17+15=52 грн.

Т.к. Марийке 4 года, то она не может пойти на аттракционы «Электрические машинки» и «Веселые горки», значит по максимально возможной цене для нее остаются билеты на следующие аттракционы: «Паравозик» (16 грн), «Батут» (15 грн) и «Лебеди» (13 грн). Итого 16+15+13=4 4грн.

Получаем: 52+44=96 грн — максимальная сумма, которую потратят родители на приобретение билетов.

Ответ: 96 грн.

Задание №26

Скільки існує різних дробів $$\frac{a}{b},$$ якщо $$a$$ набуває значень 1; 2 або 4, а $$b$$ набуває значень 5; 7; 11; 13 або 17?

Решение:

Задача на «Правило умножения».

Согласно правилу умножения, если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Естественным образом обобщается на произвольную длину последовательности.

$$a$$ и $$b$$ можно выбрать 3-мя и 5-ю способами соответственно, значит по правилу умножения существует 15 разных дробей вида $$\frac{a}{b}.$$

Ответ: 15.

Задание №27

Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} y-x=9\\ \frac{x+8}{2y-5}=2 \end{matrix}\right.$$. Запишіть у відповідь добуток $$x_{0}\cdot y_{0},$$ якщо пара $$(x_{0}; y_{0})$$ є розв’язком цієї системи рівнянь.

Решение:

Из первого уравнения выразим $$y=x+9$$ и подставим его во второе уравнение системы.

$$\frac{x+8}{2(x+9)-5}=2\Rightarrow \frac{x+8}{2x+18-5}=2\Rightarrow \frac{x+8}{2x+13}=2\Rightarrow$$

$$\frac{x+8}{2x+13}-\frac{2(2x+13)}{2x+13}=0\Rightarrow \frac{x+8-4x-26}{2x+13}=0\Rightarrow$$

$$\frac{-3x-18}{2x+13}=0\Rightarrow -3x-18=0, 2x+13\neq 0\Rightarrow$$

$$x=-6, x\neq -\frac{13}{2}\Rightarrow y=-6+9\Rightarrow y=3$$

$$x_{0}=-6, y_{0}=3\Rightarrow x_{0}\cdot y_{0}=-18$$

Ответ: -18.

Задание №28

Обчисліть значення виразу $$\log_{a}500-\log_{a}4$$, якщо $$\log_{5}a=\frac{1}{4}.$$

Решение:

$$\log_{a}500=\log_{a}{5^3\cdot 4}=\log_{a}5^3+\log_{a}4=3\log_{a}5+\log_{a}4$$

Подставим в первоначальное выражение

$$\log_{a}500-\log_{a}4=3\log_{a}5-\log_{a}4+\log_{a}4=3\log_{a}5=\frac{3}{\log_{5}a}$$

Но по условию $$\log_{5}a=\frac{1}{4}$$, значит $$\frac{3}{\log_{5}a}=3:\frac{1}{4}=12$$

Ответ: 12.

Задание №29

У трикутнику $$\triangle ABC$$ основа висоти $$AK$$ лежить на продовженні сторони $$BC$$ (див. рисунок). $$AK=6,KB=2\sqrt{3}$$. Радіус описаного навколо трикутника $$\triangle ABC$$ кола дорівнює $$15\sqrt{3}.$$ Визначте довжину $$AC$$.

Решение:

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AKB$$ по теореме Пифагора найдем $$AB.$$

$$AB^2=AK^2+BK^2\Rightarrow AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=$$

$$=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$$

Воспользуемся формулой для вычисления высоты в произвольном треугольнике:

$$h_{a}=\frac{bc}{2R}$$, где $$h_a$$ — высота, опущенная на сторону $$a,$$ $$R$$ — радиус окружности, описаной около треугольника. $$b$$ и $$c$$ — две другие стороны треугольника.

Т.о. $$AK=\frac{AB\cdot AC}{2R}\Rightarrow AC=\frac{AK\cdot 2R}{AB}=\frac{6\cdot 2\cdot 15 \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=45$$

Ответ: 45.

Задание №30

Обчисліть $$\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx,$$ використовуючи рівняння кола $$x^2+y^2=25,$$ зображеного на рисунку.

Решение:

Определенный интеграл $$\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx$$ — площадь четверти круга (см. рисунок)

Площадь круга вычисляется по формуле: $$S=\pi R^2$$

Значит $$\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi 5^2}{4}=6.25\pi$$

Отсюда $$\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=6.25$$

Ответ: 6.25.

Задание №31

Основою прямої призми $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ є рівнобічна трапеція $$ABCD$$. Основа $$AD$$ трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу $$BC$$. Через бічне ребро $$CC_1$$ призми проведено площину паралельно ребру $$AB.$$ Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює 672 см3, а її висота — 8 см.

Решение:

Объем призмы можно вычислить по формуле: $$V=SH$$, где $$S$$ — площадь основания, $$H$$ — высота призмы. Площадь трапеции можно вычислить по формуле: $$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h,$$ где $$BC, AD$$ — основания трапеции, $$h$$ — высота трапеции.

По условию $$h=AD=6BC.$$ Подставим в формулу вычисления площади трапеции, а затем вычислим $$BC:$$

$$S=\frac{BC+6BC}{2}\cdot 6BC=21BC^2\Rightarrow V=21BC^2\cdot H\Rightarrow BC=\sqrt{\frac{V}{21H}}$$

$$\Rightarrow BC=\sqrt{\frac{V}{21H}}=\sqrt{\frac{672}{21\cdot 8}}=\sqrt{4}=2$$

Значит $$h=AD=6\cdot 2=12.$$

Трапеция равнобедренная, т.е. $$AB=DC$$. Если опустить высоты из точек $$B$$ и $$C$$ на $$AD,$$ то получится прямоугольник, а слева и справа от него два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

$$\triangle ABK: \angle K=90^{\circ}, BK=h=12, AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-2}{2}=5.$$

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

$$AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Сечение призмы — прямоугольник со сторонами, равными стороне $$AB$$ и высоте $$H.$$

Площадь этого сечения равна: $$S_{1}=AB\cdot H=13\cdot 8=104.$$

Ответ: 104.

Задание №32

При якому найменшому цілому значенні параметра $$a$$ рівняння

$$\sqrt{2x+15}\cdot (\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25})=a\sqrt{2x+15}$$

має лише два різні корені?

Решение:

ОДЗ: $$2x+15\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant -7.5$$

$$\sqrt{2x+15}\cdot (\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2})-a\sqrt{2x+15}=0$$

$$\sqrt{2x+15}\cdot (|x+9|-|x-5|-a)=0$$

$$\sqrt{2x+15}=0$$ или $$|x+9|-|x-5|-a=0$$

$$x= -7.5$$ или $$|x+9|-|x-5|-a=0$$

Модули обнуляются соответственно при $$x= -9$$ и $$x= 5$$

С учетом этого и ОДЗ, получаем 2 промежутка: $$x \in [-7.5;5)$$ и $$x \in [5;+\infty)$$

I. $$x \in [-7.5;5).$$ Раскроем модули: $$x+9+x-5-a=0\Rightarrow x=\frac{a-4}{2}$$

из ОДЗ и условия лишь 2 разных корней: $$\frac{a-4}{2}> -7.5\Rightarrow a>-11\Rightarrow a=-10$$

II. $$x \in [5;+\infty)$$

$$x+9-x+5-a=0\Rightarrow a=14 (\forall x\in \mathbb{R})$$

Получили бесконечное множество решений, что не удовлетворяет условию.

Ответ: -10.

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме