Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають.

Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний з будь-яким вектором.

Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, до якої вони паралельні. Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково направлені і мають однакові модулі.

Усякі вектори можуть бути приведені до загального початку. Із означення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато рівних йому векторів.

Лінійними операціями над векторами називаються операції їх додавання та помноження на число.

Сумою векторів називається вектор $$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}.$$

Додавання і віднімання векторів:

Добутком вектора $$\vec{a}$$ на число $$k$$ називається вектор $$\vec{b}=k\vec{a},$$ $$|\vec{b}|=k|\vec{a}|,$$ при цьому $$\vec{a}$$ колінеарний $$\vec{b}.$$

Вектор $$\vec{a}$$ однаково спрямований з вектором $$\vec{b}$$ $$(\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}),$$ якщо $$k>0.$$

Вектор $$\vec{a}$$ протилежно спрямований з вектором $$\vec{b}$$ $$(\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}),$$ якщо $$k<0.$$

Вектори мають такі властивості:

  1. $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$$ (комутативність)
  2. $$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$$
  3. $$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$$
  4. $$\vec{a}+(-1)\cdot\vec{a}=\vec{0}$$
  5. $$(\alpha\beta)\vec{a}=\alpha (\beta\vec{a})$$ (асоціативність)
  6. $$(\alpha+\beta )\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}$$ (дистрибутивність)
  7. $$\alpha(\vec{a}+\vec{b} )=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}$$
  8. $$1\cdot\vec{a}=\vec{a}$$

Базисом у просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, взяті в певному порядку.

Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарні вектори, взяті в певному порядку.

Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Якщо $$\vec{e_{1}},\;\vec{e_{2}},\;\vec{e_{3}}$$ – базис у просторі і $$\vec{a}=\alpha\vec{e_{1}}+\beta\vec{e_{2}}+\gamma\vec{e_{3}}$$, то числа $$\alpha,\;\beta,\;\gamma$$ називаються компонентами або координатами вектора у цьому базисі.

У зв’язку з цим можна записати наступні властивості:

  • рівні вектори мають однакові координати;
  • при помноженні вектора на число його компоненти також помножаються на це число
    $$\lambda\vec{a}=\lambda\left ( \alpha\vec{e_{1}}+\beta\vec{e_{2}}+\gamma\vec{e_{3}} \right )=\left (\lambda\alpha \right )\vec{e_{1}}+\left (\lambda\beta \right )\vec{e_{2}}+\left (\lambda\gamma \right )\vec{e_{3}};$$
  • при додаванні векторів додаються їх відповідні компоненти
    $$\vec{a}=\alpha_{a}\vec{e_{1}}+\beta_{a}\vec{e_{2}}+\gamma_{a}\vec{e_{3}},\;\vec{b}=\alpha_{b}\vec{e_{1}}+\beta_{b}\vec{e_{2}}+\gamma_{b}\vec{e_{3}};$$
    $$\vec{a}+\vec{b}=\left (\alpha_{a}+\alpha_{b} \right )\vec{e_{1}}+\left (\beta_{a}+\beta_{b} \right )\vec{e_{2}}+\left (\gamma_{a}+\gamma_{b} \right )\vec{e_{3}};$$

Вектори $$\vec{a_{1}},…,\vec{a_{n}}$$ називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація $$k_{1}\vec{a_{1}}+…+k_{n}\vec{a_{n}}=\vec{0},$$ де $$k_{i}\;\;(i=\overline{1,n})$$ одночасно не дорівнюють нулеві, тобто $$k_{1}^2+…+k_{n}^2\neq0.$$

Якщо співвідношення $$k_{1}^2+…+k_{n}^2=0$$ справедливе лише при $$k_{i}=0\;\;(i=\overline{1,n})$$, то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивість 1: Якщо серед векторів $$\vec{a_{i}}\;\;(i=\overline{1,n})$$ є нульовий, то ці вектори лінійно залежні.

Властивість 2: Якщо в систему лінійно залежних векторів включити один або декілька векторів, то одержана система також буде лінійно залежна.

Властивість 3: Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли будь-який із векторів цієї системи може бути представлений як лінійна комбінація інших векторів цієї системи.

Властивість 4: Будь-які два колінеарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які два лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5: Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які три лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6: Будь-які 4 вектори лінійно залежні.

Зафіксуємо у просторі точку $$O$$ і розглянемо довільну точку $$M$$. Вектор $$\overrightarrow{OM}$$ назвемо радіус – вектором точки $$M$$. Якщо у просторі задати деякий базис, то точці $$M$$ можна співставити деяку трійку чисел – компоненти відповідного радіус-вектора.

Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки і базиса. Точка називається початком координат. Прямі, які проходять через початок координат, називаються осями координат:

  • 1-а вісь – вісь абсцис.
  • 2-а вісь – вісь ординат.
  • 3-я вісь – вісь аплікат.

Для знаходження компонент вектора необхідно із координат його кінця відняти координати початку. Якщо задані точки $$A(x_{A}, y_{A}, z_{A}),\;B(x_{B}, y_{B}, z_{B})$$, то $$\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A}).$$

Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні і їх модулі дорівнюють одиниці.

Декартова система координат, базис якої ортонормований, називається декартовою прямокутною системою координат.

Приклад.

Задані вектори $$\vec{a}(1;2;3),\;\vec{b}(-1;0;3),\;\vec{c}(2;1;-1),\;\vec{d}(3;2;2)$$ в деякому базисі. Показати, що вектори $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ утворюють базис і знайти координати вектора $$\vec{d}$$ в цьому базисі.

Розв’язування.

Вектори утворюють базис у випадку, коли вони лінійно незалежні, або якщо визначник із їх координат не дорівнює нулю.

$$\begin{vmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2& 0& 1\\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix}=\begin{matrix} \\ \rightarrow \\ \; \end{matrix}\begin{vmatrix} -3 & -1 &2 \\ 0& 0& 1\\ 5 & 3 & -1 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} -3 &-1 \\ 5& 3 \end{vmatrix}=4\neq0$$

Таким чином, вектори лінійно незалежні і $$\vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$$

$$\left\{\begin{matrix} \alpha a_{1} &+ & \beta b_{1} & + & \gamma c_{1}& = &d_{1} \\ \alpha a_{2} &+ & \beta b_{2} & + & \gamma c_{2}& = &d_{2} \\ \alpha a_{3} &+ & \beta b_{3} & + & \gamma c_{3}& = &d_{3} \end{matrix}\right.$$

Розв’яжемо цю систему способом Крамера.

$$\Delta_{1}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1}\\ d_{2} & b_{2} & c_{2}\\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}=0+12-2-0-9-2=-1$$

$$\alpha=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=-\frac{1}{4}$$

$$\Delta_{2}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1}\\ a_{2} & d_{2} & c_{2}\\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-2+8+9-12-2+6=7$$

$$\beta=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{7}{4}$$

$$\Delta_{3}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0+18-6-0-6+4=10$$

$$\gamma=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

Отже, координати вектора $$\vec{d}$$ в базисі $$\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}$$ знайдені, а тому $$\vec{d}=\left \{ -\frac{1}{4};\frac{7}{4};\frac{5}{2} \right \}$$.

Довжиною вектора в координатах називається відстань між точками початку і кінця вектора.

Отже, якщо задано дві точки в просторі, $$A(x_{A};y_{A};z_{A})$$ (початок) і $$B(x_{B};y_{B};z_{B})$$ (кінець вектора), то $$\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2+(z_{B}-z_{A})^2}$$.

Якщо точка $$M(x;y;z)$$ ділить відрізок $$AB$$ у співвідношенні $$\lambda$$, то координати цієї точки визначаються так:

$$x=\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda},\;y=\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda},\;z=\frac{z_{A}+\lambda z_{B}}{1+\lambda}.$$

Зокрема, якщо точка $$M(x;y;z)$$ співпадає з серединою відрізка $$AB$$, то
$$x=\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\;y=\frac{y_{A}+y_{B}}{2},\;z=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$

Поделиться

Больше материалов

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у будь-якій системі координат повинно характеризуватись однозначно. Поняття системи координат являє...

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Материалы по теме

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Пробное ЗНО 2014 по математике. Задание 9

Решение 9 задания пробного ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 23 задание

В прямоугольной системе координат на плоскости даны векторы $$vec{a}(3;4)$$ и $$vec{b}(-2;2).$$ Каждому...

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 15 задание

На координатной плоскости $$xy$$ изображена окружность, центр которой совпадает с началом координат...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 22 задание

Задание 22 У прямокутній системі координат на площині...

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді