Задание 19 пробного ЗНО 2014 по математике

Объем конуса равен 64 см3. Через середину высоты этого конуса параллельно его основанию проведена плоскость. Полученное сечение является основанием меньшего конуса, вершина которого совпадает с вершиной заданного. Найти объем меньшего конуса.

А. 32 см3

Б. 16 см3

В. 12 см3

Г. 8 см3

Д. 4 см3

Решение

Объем конуса можно вычислить по формуле $$V=\frac{1}{3}\pi R^2 H$$

Плоскость, проведенная через середину высоты конуса и параллельно его основанию, является в двумерном пространстве средней линией равнобедренного треугольника (конус проецируется в равнобедренный треугольник). Таким образом получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 2.

$$V_1=64$$ — объем большего конуса, $$H_1=2H_2,$$ где $$H_1$$ — высота большого, а $$H_2$$ — меньшего конуса (из условия), $$R_1=2R_2,$$ где $$R_1$$ — радиус основания большего, а $$R_2$$ — радиус основания меньшего конуса (из подобия треугольников). Тогда $$V_2=\frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2=\frac{1}{3}\pi (\frac{R_1}{2})^2\cdot \frac{H_1}{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1=\frac{1}{8}V_1=\frac{64}{8}=8$$

Ответ: Г

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме