Упростить выражение:
$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$
Решение:
Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного умножения, Степени и их свойства.
$$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}=$$
$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}+1-1=$$
$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-((2^{16})^2-1^2)-1=$$
$$=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-(2^{16}+1)(2^{16}-1)-1=$$
$$=(2^{16}+1)\left [(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-((2^{8})^2-1^2) \right ]-1=$$
$$=(2^{16}+1)(2^8+1)\left [(2+1)(2^2+1)(2^4+1)-((2^{4})^2-1^2) \right ]-1=$$
$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)\left [(2+1)(2^2+1)-((2^{2})^2-1^2) \right ]-1=$$
$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)\left [(2+1)-(2^2-1^2) \right ]-1=$$
$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)\left [1-(2-1) \right ]-1=$$
$$=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)\cdot0-1=0-1=-1$$
При решении использованы следующие преобразования:
$$1^2=1$$
$$(2^8)^2-1^2=(2^8+1)(2^8-1)$$
$$(2^4)^2-1^2=(2^4+1)(2^4-1)$$
$$(2^2)^2-1^2=(2^2+1)(2^2-1)$$
$$2^2-1^2=(2+1)(2-1)$$