Задание 31 (объем равногранного тетраэдра)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию геометрическую задачу на нахождение объема равногранного тетраэдра.

Задача

В треугольной пирамиде все четыре грани являются равнобедренными треугольниками с основанием $$\sqrt{14}$$ и боковой стороной 4. Найти объем пирамиды.

Решение:

Вспомним некоторые определения.

Определение 1:

Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Определение 2:

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные треугольники.

Определение 3:

Отрезки, каждый из которых соединяет середины противоположных (скрещивающихся) ребер тетраэдра, называются его бимедианами (средними линиями).

Так как грани треугольной пирамиды по условию являются равными равнобедренными треугольниками, то данная пирамида является равногранным тетраэдром $$DABC$$:

$$DA=BC=DB=AC=4,DC=AB=\sqrt{14}$$.

Проведем в рассматриваемом равногранном тетраэдре бимедианы $$\delta_1=PQ$$, $$\delta_2=EF$$ и $$\delta_3=MN$$.

Объем равногранного тетраэдра равен трети от произведения бимедиан, то есть $$V=\frac{1}{3}\delta_1\delta_2\delta_3$$.

$$\delta_1^2=PQ^2=\frac{1}{2}(DB^2+DC^2-DA^2)=\frac{1}{2}(16+14-16)=7\Rightarrow \delta_1=\sqrt{7}$$

$$\delta_2^2=EF^2=\frac{1}{2}(DC^2+DA^2-DB^2)=\frac{1}{2}(14+16-16)=7\Rightarrow \delta_2=\sqrt{7}$$

$$\delta_3^2=MN^2=\frac{1}{2}(DA^2+DB^2-DC^2)=\frac{1}{2}(16+16-14)=9\Rightarrow \delta_3=3$$

Тогда объем равен:

$$V=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot3=7$$

Ответ: 7.

Подробней со свойствами тетраэдра Вы можете ознакомиться в пособии: Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. — М.: МЦНМО, 2006. — 256 с.: ил.

Поделиться

Больше заданий

Задание 37 («Готуємось до ЗНО» №40.25)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию геометрическое задание на соответствие логических пар, взятое из пособия "Математика: Комплексна підготовка...

Задание 20 (Крива другого порядку. Канонічний вид)

Рівняння лінії другого порядку $$9x^2+16y^2-90x+32y+97=0$$ привести до канонічного виду. Визначити тип і розташування лінії. Знайти координати фокусів й інші параметри.

Числовой автомат «ТЮМ–XVI»

Предлагаем Вашему вниманию конкурсную задачу из турнира юных математиков. Задание Числовой автомат «ТЮМ-XVI» может выполнять такие...

Задание 40 (Геометрия. 8 класс)

В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.

Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..