Задание 33. Пробное ЗНО 2014. Математика

В основании пирамиды $$SABCD$$ лежит трапеция $$ABCD$$ $$(BC\parallel AD).$$ Боковая грань $$SBC,$$ площадь которой равна $$24.4$$ см2, перпендикулярна к плоскости основания пирамиды. Точка $$M$$ — середина ребра $$SB.$$ Плоскость $$(MAD)$$ пересекает ребро $$SC$$ в точке $$N.$$ Определите длину отрезка $$MN$$ (в см), если объем пирамиды равен $$152$$ см2, а площадь ее основания — $$57$$ см2.

Решение

Очевидно, что $$MN$$ — средняя линия треугольника $$\triangle SBC$$ (по условию $$BC\parallel AD,$$ $$M$$ — середина $$SB,$$ значит $$MN\parallel AD$$ и $$N$$ — середина $$SC)$$ и $$MN=\frac{1}{2}BC$$

Площадь треугольника $$SBC$$ можно вычислить по формуле $$S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot H=MN\cdot H,$$ где $$H$$ — высота к стороне $$BC$$ и высота пирамиды (из условия $$(SBC)$$ перпендикулярна к плоскости основания пирамиды)

Значит $$MN=\frac{S_{\triangle SBC}}{H}$$

Высоту пирамиды найдем из ее объема: $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot H,$$ т.е. $$H=\frac{3V_{SABCD}}{S_{ABCD}}$$

Следовательно $$MN=\frac{S_{\triangle SBC}\cdot S_{ABCD}}{3V_{SABCD}}=\frac{24.4\cdot57}{3\cdot152}=3.05$$

Ответ: $$3.05$$

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме