Задание 34. Пробное ЗНО 2014. Математика

Найти наименьшее значение параметра $$a,$$ при котором уравнение $$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$ имеет положительный корень.

Решение

Решение уравнения $$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$ начнем с анализа левой и правой частей.

Преобразуем знаменатель правой части уравнения

$$(x-a)^2-6(x-a)+13=[(x-a)^2-2\cdot(x-a)\cdot3+9]+4=(x-a-3)^2+4\geqslant4$$

Значит правая часть уравнения $$0<\frac{4}{(x-a-3)^2+4}\leqslant1$$ Приступим к анализу левой части уравнения $$|\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})|\leqslant1$$ $$0\leqslant\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})\leqslant1$$ $$2^y$$ — возрастающая функция $$1=2^0\leqslant2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}\leqslant 2^1=2$$ Получили, что левая часть больше либо равна единице, а правая — меньше либо равна единице. Следовательно обе части уравнения равны единице. Рассмотрим правую часть $$\frac{4}{(x-a-3)^2+4}=1$$ $$x=a+3>0$$

$$a>-3$$

Рассмотрим левую часть

$$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=1=2^0$$

$$\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$

$$\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$ — частный случай

$$2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi k, k\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}, k\in \mathbb{Z}$$

Так как $$x>0,$$ то $$\frac{k}{2}-\frac{5}{8}>0$$

$$k>\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

То есть $$k=2;3;4;5;$$…

$$a=x-3=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}-3$$

Параметр $$a$$ принимает наименьшее значение при $$k=2$$

Значит $$a=\frac{2}{2}-\frac{5}{8}-3=-2\frac{5}{8}=-2.625$$

Ответ: $$-2.625$$

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме