Решить уравнение:
$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$
Решение:
Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного уравнения.
$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0$$
Сделаем замену:
$$x^2+x+1=a$$
$$x-1=b$$
Получили квадратное уравнение:
$$2a^2-13ab-7b^2=0$$
$$a^2-2\cdot a\cdot\frac{13}{4}b-\frac{7}{2}b^2=0$$
$$\left (a^2-2\cdot a\cdot\frac{13}{4}b+\frac{169}{16}b^2 \right )-\frac{169}{16}b^2-\frac{7}{2}b^2=0$$
$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\frac{169+56}{16}b^2=0$$
$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\frac{225}{16}b^2=0$$
$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\left (\frac{15}{4}b \right )^2=0$$
$$\left( a-\frac{13}{4}b -\frac{15}{4}b\right )\left( a-\frac{13}{4}b +\frac{15}{4}b\right )=0$$
$$\left( a-\frac{28}{4}b \right )\left( a+\frac{2}{4}b\right )=0$$
$$\left( a-7b \right )\left( a+\frac{1}{2}b\right )=0$$
Обратная замена:
$$(x^2+x+1-7x+7)(x^2+x+1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})=0$$
$$(x^2-6x+8)(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2})=0$$
$$x^2-6x+8=0$$ или $$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$$
Применим теорему Виета:
$$\begin{matrix} x^2-6x+8=0 & \; & x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0\\ x_{1}+x_{2}=6\;\;\;\;\;\;\: & \; &x_{3}+x_{4}= -\frac{3}{2}\;\;\;\, \, \\ x_{1}\cdot x_{2}=8\;\;\;\;\;\;\;\: \, & \; & x_{3}\cdot x_{4}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\:\, \\ x_{1}=2, x_{2}=4\;\;\; & \; & \;\;\;x_{3}=-\frac{1}{2}, x_{4}=-1 \end{matrix}$$