Задание 40 (Геометрия. 8 класс)

В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.

Задача

Из точки к прямой проведены две наклонные, разность длин которых равна 2 см, а разность длин их проекций равна 4 см. Найти расстояние от точки до прямой, если длина меньшей наклонной натуральное число, меньшее 6.

Решение:

Из точки $$B$$ к прямой $$AC$$ проведены две наклонные $$BA$$ и $$BC,$$ $$BC-BA=2$$ см. $$AD$$ и $$CD$$ — проекции наклонных, $$CD-AD=4$$ см. $$BD$$ — расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC,$$ $$BD\perp AC.$$

Пусть $$AB$$ — меньшая наклонная, $$AB=x\;\left (x\in\mathbb{N},x<6 \right ),$$ тогда по условию $$BC = (x + 2).$$ Рассмотрим два прямоугольных треугольника $$BDA$$ и $$BDC.$$ По теореме Пифагора $$BD^2=AB^2-AD^2$$ и $$BD^2=BC^2-DC^2.$$

Левые части равны, значит равны и правые части

$$AB^2-AD^2=BC^2-DC^2\Rightarrow BC^2-AB^2=DC^2-AD^2$$

Так как разность длин проекций равна 4 см, то

$$(x+2)^2-x^2=(AD+4)^2-AD^2$$

Применим формулу разности квадратов, приведем подобные слагаемые и получим

$$4(x+1)=8(AD+2)$$

Выразим $$AD$$

$$AD=\frac{x-3}{2}$$

$$AD>0\Rightarrow x>3$$ $$\Rightarrow x=4$$ или $$x=5.$$

1) $$x=4$$

$$AB=4,\;BC=4+2=6,\;AD=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2},\;DC=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$$

$$BD^2=4^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\frac{64-1}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

или из второго треугольника

$$BD^2=6^2-\left ( \frac{9}{2} \right )^2=\frac{144-81}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

Видим, что значения совпадают, т.е. расстояние равно $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см.

2) $$x=5$$

$$AB=5,\;BC=5+2=7,\;AD=\frac{5-3}{2}=1,\;DC=1+4=5$$

$$BD^2=5^2-1^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см)

аналогично из второго треугольника

$$BD^2=7^2-5^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см).

Т.е. расстояние равно $$2\sqrt{6}$$ см.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см или $$2\sqrt{6}$$ см.

Поделиться

Больше заданий

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса. Пропонуємо згадати...

Задание 10 (Графики)

Построить график функции: $$y=sqrt{1+tg^2x}cdotcos xcdotsqrt{|x|}$$ Решение: Преобразуем исходную функцию:

Задание 46 (Логарифмы)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике рассмотрим задание на преобразование логарифмических выражений. Задание

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..