Задание 40 (Геометрия. 8 класс)

В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.

Задача

Из точки к прямой проведены две наклонные, разность длин которых равна 2 см, а разность длин их проекций равна 4 см. Найти расстояние от точки до прямой, если длина меньшей наклонной натуральное число, меньшее 6.

Решение:

Из точки $$B$$ к прямой $$AC$$ проведены две наклонные $$BA$$ и $$BC,$$ $$BC-BA=2$$ см. $$AD$$ и $$CD$$ — проекции наклонных, $$CD-AD=4$$ см. $$BD$$ — расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC,$$ $$BD\perp AC.$$

Пусть $$AB$$ — меньшая наклонная, $$AB=x\;\left (x\in\mathbb{N},x<6 \right ),$$ тогда по условию $$BC = (x + 2).$$ Рассмотрим два прямоугольных треугольника $$BDA$$ и $$BDC.$$ По теореме Пифагора $$BD^2=AB^2-AD^2$$ и $$BD^2=BC^2-DC^2.$$

Левые части равны, значит равны и правые части

$$AB^2-AD^2=BC^2-DC^2\Rightarrow BC^2-AB^2=DC^2-AD^2$$

Так как разность длин проекций равна 4 см, то

$$(x+2)^2-x^2=(AD+4)^2-AD^2$$

Применим формулу разности квадратов, приведем подобные слагаемые и получим

$$4(x+1)=8(AD+2)$$

Выразим $$AD$$

$$AD=\frac{x-3}{2}$$

$$AD>0\Rightarrow x>3$$ $$\Rightarrow x=4$$ или $$x=5.$$

1) $$x=4$$

$$AB=4,\;BC=4+2=6,\;AD=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2},\;DC=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$$

$$BD^2=4^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\frac{64-1}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

или из второго треугольника

$$BD^2=6^2-\left ( \frac{9}{2} \right )^2=\frac{144-81}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)

Видим, что значения совпадают, т.е. расстояние равно $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см.

2) $$x=5$$

$$AB=5,\;BC=5+2=7,\;AD=\frac{5-3}{2}=1,\;DC=1+4=5$$

$$BD^2=5^2-1^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см)

аналогично из второго треугольника

$$BD^2=7^2-5^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см).

Т.е. расстояние равно $$2\sqrt{6}$$ см.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см или $$2\sqrt{6}$$ см.

Поделиться

Больше заданий

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду; Формули скороченого...

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

Задание 29 (медиана прямоугольного треугольника)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задачу по планиметрии. Задача Медиана...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..