В рамках подготовки к ДПА по математике предлагаем геометрическую задачу на нахождение расстояния от точки до прямой через наклонные и их проекции.
Задача
Из точки к прямой проведены две наклонные, разность длин которых равна 2 см, а разность длин их проекций равна 4 см. Найти расстояние от точки до прямой, если длина меньшей наклонной натуральное число, меньшее 6.
Решение:
Из точки $$B$$ к прямой $$AC$$ проведены две наклонные $$BA$$ и $$BC,$$ $$BC-BA=2$$ см. $$AD$$ и $$CD$$ – проекции наклонных, $$CD-AD=4$$ см. $$BD$$ – расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC,$$ $$BD\perp AC.$$
Пусть $$AB$$ – меньшая наклонная, $$AB=x\;\left (x\in\mathbb{N},x<6 \right ),$$ тогда по условию $$BC = (x + 2).$$ Рассмотрим два прямоугольных треугольника $$BDA$$ и $$BDC.$$ По теореме Пифагора $$BD^2=AB^2-AD^2$$ и $$BD^2=BC^2-DC^2.$$
Левые части равны, значит равны и правые части
$$AB^2-AD^2=BC^2-DC^2\Rightarrow BC^2-AB^2=DC^2-AD^2$$
Так как разность длин проекций равна 4 см, то
$$(x+2)^2-x^2=(AD+4)^2-AD^2$$
Применим формулу разности квадратов, приведем подобные слагаемые и получим
$$4(x+1)=8(AD+2)$$
Выразим $$AD$$
$$AD=\frac{x-3}{2}$$
$$AD>0\Rightarrow x>3$$ $$\Rightarrow x=4$$ или $$x=5.$$
1) $$x=4$$
$$AB=4,\;BC=4+2=6,\;AD=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2},\;DC=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$$
$$BD^2=4^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\frac{64-1}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)
или из второго треугольника
$$BD^2=6^2-\left ( \frac{9}{2} \right )^2=\frac{144-81}{4}=\frac{63}{4}\Rightarrow BD=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ (см)
Видим, что значения совпадают, т.е. расстояние равно $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см.
2) $$x=5$$
$$AB=5,\;BC=5+2=7,\;AD=\frac{5-3}{2}=1,\;DC=1+4=5$$
$$BD^2=5^2-1^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см)
аналогично из второго треугольника
$$BD^2=7^2-5^2=24\Rightarrow BD=2\sqrt{6}$$ (см).
Т.е. расстояние равно $$2\sqrt{6}$$ см.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$ см или $$2\sqrt{6}$$ см.