Задание 47 (тождественные преобразования)

Упростить выражение $$\frac{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}$$ и найти его значение, если $$x=1,$$ $$y=0.1,$$ $$z=0.01.$$

Решение

Преобразование числителя

Рассмотрим числитель дроби $$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3$$

Преобразуем его. Сначала упорядочим многочлен по степеням переменной $$x$$

$$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3=x^3y-zx^3-xy^3+z^3x+y^3z-yz^3=$$

Вынесем общие множители за скобки

$$=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+yz(y^2-z^2)=$$

Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов

$$=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+z^2+yz)+yz(y-z)(y+z)=$$

Вынесем общий множитель за скобки

$$=(y-z)[x^3-x(y^2+z^2+yz)+yz(y+z)]=$$

$$=(y-z)[x^3-xy^2-xz^2-xyz+y^2z+yz^2]=$$

Во второй скобке упорядочим по степеням переменной $$y$$

$$=(y-z)[y^2z-xy^2+yz^2-xyz+x^3-xz^2]=$$

Вынесем общие множители в квадратных скобках

$$=(y-z)[y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)]=$$

Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-x(z+x)]=$$

$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-xz-x^2]=$$

Перегруппируем одночлены в квадратных скобках

$$=(y-z)(z-x)[y^2-x^2+yz-xz]=$$

Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки

$$=(y-z)(z-x)[(y-x)(y+x)+z(y-x)]=(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)$$

Преобразование знаменателя

Теперь преобразуем знаменатель дроби $$x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2.$$ Для этого прибавим и вычтем одночлен $$xyz.$$

$$x^2y-xy^2+y^2z-xyz+xyz-yz^2+z^2x-zx^2=$$

$$=(x^2y-xy^2+y^2z-xyz)+(xyz-yz^2+z^2x-zx^2)=$$

Вынесем общие множители за скобки

$$y(x^2-xy+yz-xz)-z(-xy+yz-zx+x^2)=$$

Очевидно, в скобках одинаковые полиномы. Вынесем их за скобки

$$(x^2-xy+yz-xz)(y-z)=$$

Сгруппируем и вынесем общие множители за скобки

$$[x(x-y)-z(x-y)](y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)$$

Упрощение дроби и нахождение значения выражения

Итак, после преобразования числителя и знаменателя дроби, получим

$$\frac{(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=(x+y+z)$$

Подставим значение переменных и получим

$$1+0.1+0.01=1.11$$

Ответ: $$1.11$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 11 (Алгебра)

Задание 11. Рациональные выражения

Числовой автомат «ТЮМ–XVI»

Предлагаем Вашему вниманию конкурсную задачу из турнира юных математиков. Задание Числовой автомат «ТЮМ-XVI» может выполнять такие...

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..