Упростить выражение $$\frac{x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3}{x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2}$$ и найти его значение, если $$x=1,$$ $$y=0.1,$$ $$z=0.01.$$
Решение
Преобразование числителя
Рассмотрим числитель дроби $$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3$$
Преобразуем его. Сначала упорядочим многочлен по степеням переменной $$x$$
$$x^3y-xy^3+y^3z-yz^3+z^3x-zx^3=x^3y-zx^3-xy^3+z^3x+y^3z-yz^3=$$
Вынесем общие множители за скобки
$$=x^3(y-z)-x(y^3-z^3)+yz(y^2-z^2)=$$
Воспользуемся формулами разности кубов и разности квадратов
$$=x^3(y-z)-x(y-z)(y^2+z^2+yz)+yz(y-z)(y+z)=$$
Вынесем общий множитель за скобки
$$=(y-z)[x^3-x(y^2+z^2+yz)+yz(y+z)]=$$
$$=(y-z)[x^3-xy^2-xz^2-xyz+y^2z+yz^2]=$$
Во второй скобке упорядочим по степеням переменной $$y$$
$$=(y-z)[y^2z-xy^2+yz^2-xyz+x^3-xz^2]=$$
Вынесем общие множители в квадратных скобках
$$=(y-z)[y^2(z-x)+yz(z-x)-x(z^2-x^2)]=$$
Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки
$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-x(z+x)]=$$
$$=(y-z)(z-x)[y^2+yz-xz-x^2]=$$
Перегруппируем одночлены в квадратных скобках
$$=(y-z)(z-x)[y^2-x^2+yz-xz]=$$
Воспользуемся формулой разности квадратов и вынесем общие множители за скобки
$$=(y-z)(z-x)[(y-x)(y+x)+z(y-x)]=(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)$$
Преобразование знаменателя
Теперь преобразуем знаменатель дроби $$x^2y-xy^2+y^2z-yz^2+z^2x-zx^2.$$ Для этого прибавим и вычтем одночлен $$xyz.$$
$$x^2y-xy^2+y^2z-xyz+xyz-yz^2+z^2x-zx^2=$$
$$=(x^2y-xy^2+y^2z-xyz)+(xyz-yz^2+z^2x-zx^2)=$$
Вынесем общие множители за скобки
$$y(x^2-xy+yz-xz)-z(-xy+yz-zx+x^2)=$$
Очевидно, в скобках одинаковые полиномы. Вынесем их за скобки
$$(x^2-xy+yz-xz)(y-z)=$$
Сгруппируем и вынесем общие множители за скобки
$$[x(x-y)-z(x-y)](y-z)=(x-y)(x-z)(y-z)$$
Упрощение дроби и нахождение значения выражения
Итак, после преобразования числителя и знаменателя дроби, получим
$$\frac{(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)(x+y+z)}{(x-y)(x-z)(y-z)}=(x+y+z)$$
Подставим значение переменных и получим
$$1+0.1+0.01=1.11$$
Ответ: $$1.11$$