Задание 51 (Логарифмическое неравенство)

Логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

Решение

Повторите материалы по теме: логарифмическая функция, свойства логарифмов.

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}x^2>0\\ x^2\neq1\\ \frac{2x}{x-3}>0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\ x\neq\pm1\\ x(x-3)>0\end{matrix}\right.$$

$$x\in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(3;\infty)$$

Решим логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}\log_{x^2}x^2$$

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\log_{x^2}|x|$$

Рассмотрим 3 случая

1) $$x\in(-\infty; -1)$$ — основание больше 1, сохраняем знак неравенства

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant -x$$

$$\frac{2x+x^2-3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\leqslant 0$$

$$x\in(-\infty; 0)\cup(1;3)$$

Учитывая интервал, на котором рассматривается решение, получаем $$x\in(-\infty; -1)$$

2) $$x\in(-1;0)$$ — основание между нулем и единицей, знак неравенства меняем на противоположный.

$$\frac{2x}{x-3}\geqslant -x$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\geqslant 0$$ (см. рисунок из пункта 1)

$$x\in(0;1)\cup(3;\infty),$$ что не попадает в интервал, на котором рассматриваем решение, т.е. получили пустое множество.

3) $$x\in(3;\infty)$$ — основание больше единицы, знак неравенства сохраняем.

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant x$$

$$\frac{2x-x^2+3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-5)}{x-3}\geqslant 0$$

С учетом рассматриваемого для решения интервала, получим $$x\in[5;\infty)$$

Объединяя решения трех случаев, получим $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Ответ: $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 41 (Роганін. Тест 4. №35)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем геометрическую задачу, взятую из пособия "Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. /...

Задание 3 (формулы сокращенного умножения, степени)

Упростить выражение: $$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$ Решение: Рекомендуем ознакомиться с материалами по теме: Формулы сокращенного...

Задание 42 (ДПА 2013. 9 класс. В1. Задача 3.1)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу, взятую из первого варианта ДПА 2013 по математике...

Задание 23 (Найпростіший вид лінії другого порядку)

Привести до найпростішого виду рівняння лінії другого порядку $$3y^2+5x+6y+13=0$$. Визначити вид і розташування лінії, знайти координати фокуса. Пропонуємо згадати...

Задание 19 (Коло. Канонічний вид)

Перед розв'язуванням завдання рекомендуємо ознайомитися з теорією: Рівняння кривих другого порядку. Коло; Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду; Формули скороченого...

Материалы по теме

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 49 (логарифмы)

Решение задания 49 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 19 задание

Решить неравенство $$log_{0.4}xgeqslantlog_{0.4}2.$$ А. $$(-infty;2]$$ Б....

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида $$y=log_{a}x$$ $$(a > 0, aneq1).$$