Задание 51 (Логарифмическое неравенство)

Логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

Решение

Повторите материалы по теме: логарифмическая функция, свойства логарифмов.

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}x^2>0\\ x^2\neq1\\ \frac{2x}{x-3}>0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\ x\neq\pm1\\ x(x-3)>0\end{matrix}\right.$$

$$x\in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(3;\infty)$$

Решим логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}\log_{x^2}x^2$$

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\log_{x^2}|x|$$

Рассмотрим 3 случая

1) $$x\in(-\infty; -1)$$ — основание больше 1, сохраняем знак неравенства

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant -x$$

$$\frac{2x+x^2-3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\leqslant 0$$

$$x\in(-\infty; 0)\cup(1;3)$$

Учитывая интервал, на котором рассматривается решение, получаем $$x\in(-\infty; -1)$$

2) $$x\in(-1;0)$$ — основание между нулем и единицей, знак неравенства меняем на противоположный.

$$\frac{2x}{x-3}\geqslant -x$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\geqslant 0$$ (см. рисунок из пункта 1)

$$x\in(0;1)\cup(3;\infty),$$ что не попадает в интервал, на котором рассматриваем решение, т.е. получили пустое множество.

3) $$x\in(3;\infty)$$ — основание больше единицы, знак неравенства сохраняем.

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant x$$

$$\frac{2x-x^2+3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-5)}{x-3}\geqslant 0$$

С учетом рассматриваемого для решения интервала, получим $$x\in[5;\infty)$$

Объединяя решения трех случаев, получим $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Ответ: $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Поделиться

Больше заданий

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве. Советуем вспомнить теоретический материал по...

Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Материалы по теме

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 49 (логарифмы)

Решение задания 49 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 19 задание

Решить неравенство $$log_{0.4}xgeqslantlog_{0.4}2.$$ А. $$(-infty;2]$$ Б....

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида $$y=log_{a}x$$ $$(a > 0, aneq1).$$