Логарифмическое неравенство
$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$
Решение
Повторите материалы по теме: логарифмическая функция, свойства логарифмов.
$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$
ОДЗ:
$$\left\{\begin{matrix}x^2>0\\ x^2\neq1\\ \frac{2x}{x-3}>0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\ x\neq\pm1\\ x(x-3)>0\end{matrix}\right.$$
$$x\in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(3;\infty)$$
Решим логарифмическое неравенство
$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}\log_{x^2}x^2$$
$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\log_{x^2}|x|$$
Рассмотрим 3 случая
1) $$x\in(-\infty; -1)$$ – основание больше 1, сохраняем знак неравенства
$$\frac{2x}{x-3}\leqslant -x$$
$$\frac{2x+x^2-3x}{x-3}\leqslant 0$$
$$\frac{x(x-1)}{x-3}\leqslant 0$$
$$x\in(-\infty; 0)\cup(1;3)$$
Учитывая интервал, на котором рассматривается решение, получаем $$x\in(-\infty; -1)$$
2) $$x\in(-1;0)$$ – основание между нулем и единицей, знак неравенства меняем на противоположный.
$$\frac{2x}{x-3}\geqslant -x$$
$$\frac{x(x-1)}{x-3}\geqslant 0$$ (см. рисунок из пункта 1)
$$x\in(0;1)\cup(3;\infty),$$ что не попадает в интервал, на котором рассматриваем решение, т.е. получили пустое множество.
3) $$x\in(3;\infty)$$ – основание больше единицы, знак неравенства сохраняем.
$$\frac{2x}{x-3}\leqslant x$$
$$\frac{2x-x^2+3x}{x-3}\leqslant 0$$
$$\frac{x(x-5)}{x-3}\geqslant 0$$
С учетом рассматриваемого для решения интервала, получим $$x\in[5;\infty)$$
Объединяя решения трех случаев, получим $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$
Ответ: $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$