Задание 51 (Логарифмическое неравенство)

Логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

Решение

Повторите материалы по теме: логарифмическая функция, свойства логарифмов.

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}x^2>0\\ x^2\neq1\\ \frac{2x}{x-3}>0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\ x\neq\pm1\\ x(x-3)>0\end{matrix}\right.$$

$$x\in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(3;\infty)$$

Решим логарифмическое неравенство

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\frac{1}{2}\log_{x^2}x^2$$

$$\log_{x^2}{\frac{2x}{x-3}}\leqslant\log_{x^2}|x|$$

Рассмотрим 3 случая

1) $$x\in(-\infty; -1)$$ — основание больше 1, сохраняем знак неравенства

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant -x$$

$$\frac{2x+x^2-3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\leqslant 0$$

$$x\in(-\infty; 0)\cup(1;3)$$

Учитывая интервал, на котором рассматривается решение, получаем $$x\in(-\infty; -1)$$

2) $$x\in(-1;0)$$ — основание между нулем и единицей, знак неравенства меняем на противоположный.

$$\frac{2x}{x-3}\geqslant -x$$

$$\frac{x(x-1)}{x-3}\geqslant 0$$ (см. рисунок из пункта 1)

$$x\in(0;1)\cup(3;\infty),$$ что не попадает в интервал, на котором рассматриваем решение, т.е. получили пустое множество.

3) $$x\in(3;\infty)$$ — основание больше единицы, знак неравенства сохраняем.

$$\frac{2x}{x-3}\leqslant x$$

$$\frac{2x-x^2+3x}{x-3}\leqslant 0$$

$$\frac{x(x-5)}{x-3}\geqslant 0$$

С учетом рассматриваемого для решения интервала, получим $$x\in[5;\infty)$$

Объединяя решения трех случаев, получим $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Ответ: $$x\in(-\infty; -1)\cup[5;\infty)$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 39 (текстовая задача на движение)

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу на движение. Задача

Числовой автомат «ТЮМ–XVI»

Предлагаем Вашему вниманию конкурсную задачу из турнира юных математиков. Задание Числовой автомат «ТЮМ-XVI» может выполнять такие...

Задание 16 (угол между прямыми)

Найти угол между прямыми $$y-2x-5=0$$ и $$y+3x-1=0.$$ Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем повторить теоретический материал.

Материалы по теме

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 49 (логарифмы)

Решение задания 49 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 48 (логарифмы)

Свойства логарифмов (задание 48). Задание из группы ВКонтакте

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 19 задание

Решить неравенство $$log_{0.4}xgeqslantlog_{0.4}2.$$ А. $$(-infty;2]$$ Б....

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида $$y=log_{a}x$$ $$(a > 0, aneq1).$$