Доказать тождество: $$\sin2\alpha+\sin4\alpha+\sin6\alpha+\sin8\alpha=\frac{\sin5\alpha\sin4\alpha}{\sin\alpha}$$
Доказательство
Повторите формулы преобразования суммы в произведение
$$(\sin2\alpha+\sin8\alpha)+(\sin4\alpha+\sin6\alpha)=$$
$$=2\sin5\alpha\cos3\alpha+2\sin5\alpha\cos\alpha=$$
$$=2\sin5\alpha(\cos3\alpha+\cos\alpha)=$$
$$=2\sin5\alpha\cdot2\cos2\alpha\cos\alpha=$$
$$=\sin5\alpha\cdot2\cos2\alpha\cdot2\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}=$$
$$=\frac{\sin5\alpha}{\sin\alpha}\cdot2\cos2\alpha\sin2\alpha=$$
$$=\frac{\sin5\alpha\sin4\alpha}{\sin\alpha}$$
ч.т.д.