Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

  1. $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$
  2. $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}$$
  3. Если разность 1 и 2 равна нулю, то доказано
    $$\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}-\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{(\sqrt{b}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=\frac{b-a-c-b}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=\frac{2b-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}$$
  4. Так как $$a$$, $$b$$, $$c$$ – арифметическая прогрессия, то $$2b=a+c$$.
    Подставим в 3 и получим:
    $$\frac{a+c-a-c}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}=0$$

Доказали, что числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ образуют арифметическую прогрессию.

Поделиться

Больше заданий

Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что: $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.

Задание 54 (вторая производная от дроби)

Нахождение второй производной для дробного выражения

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 16 (угол между прямыми)

Найти угол между прямыми $$y-2x-5=0$$ и $$y+3x-1=0.$$ Перед тем, как приступить к решению задания, рекомендуем повторить теоретический материал.

Задание 5 (Тригонометрия)

Найти значение выражения: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами раздела по тригонометрии: определение...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..