Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Решение

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x+6\geqslant 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ 2x-5\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$

или $$x \geqslant \frac{5}{2}$$

Левая и правая части неравенства неотрицательны (квадратный корень и сумма квадратных корней неотрицательны), возведем в квадрат

$$x+6 > x+1+2x-5+2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5}$$

$$2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < -2x+10$$

Разделим на положительное число 2, при этом знаки неравенства сохраняются

$$\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < 5-x$$

Левая часть неотрицательна, тогда требуем, чтоб и правая часть была неотрицательной для того, чтобы возвести в квадрат. Получим дополнительное условие $$5-x \geqslant 0$$ или $$x \leqslant 5$$.

Возводим в квадрат

$$(x+1)(2x-5) < 25+x^2-10x$$

После раскрытия скобок, переноса в левую часть и приведения подобных слагаемых, получим

$$x^2+7x-30 < 0$$

По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения $$x^2+7x-30=0$$: $$x_1=-10$$, $$x_2=3$$

Тогда неравенство перепишем в виде

$$(x+10)(x-3) < 0$$

Решая его методом интервалов, получим $$x\in (-10; 3)$$

С учетом ОДЗ и дополнительного условия получим $$x\in [2,5; 3)$$

Ответ: $$x\in [2,5; 3)$$.

Поделиться

Больше заданий

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix}...

Задание 5 (Тригонометрия)

Найти значение выражения: $$text{ctg}left (arccos(-frac{1}{3}) right )$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами раздела по тригонометрии: определение...

Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что: $$sin^6x+cos^6xgeqslant 0.25$$ Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

28 задание пробного ЗНО 2015

Решение 28 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

30 задание ЗНО 2014

Решение 30 задания ЗНО 2014 по математике..

29 задание ЗНО 2014

Решение 29 задание ЗНО 2014 по математике..

Задание №18 пробного ЗНО 2015

Решение 18 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

17 задание ЗНО 2014

Решение 17 задания ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 27 задание

Розв'яжіть нерівність $$frac{4}{x+3}+frac{6}{x}geqslant1.$$ У відповіді запишіть суму всіх цілих...