Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$
Решение
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x+6\geqslant 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ 2x-5\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$
или $$x \geqslant \frac{5}{2}$$
Левая и правая части неравенства неотрицательны (квадратный корень и сумма квадратных корней неотрицательны), возведем в квадрат
$$x+6 > x+1+2x-5+2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5}$$
$$2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < -2x+10$$
Разделим на положительное число 2, при этом знаки неравенства сохраняются
$$\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < 5-x$$
Левая часть неотрицательна, тогда требуем, чтоб и правая часть была неотрицательной для того, чтобы возвести в квадрат. Получим дополнительное условие $$5-x \geqslant 0$$ или $$x \leqslant 5$$.
Возводим в квадрат
$$(x+1)(2x-5) < 25+x^2-10x$$
После раскрытия скобок, переноса в левую часть и приведения подобных слагаемых, получим
$$x^2+7x-30 < 0$$
По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения $$x^2+7x-30=0$$: $$x_1=-10$$, $$x_2=3$$
Тогда неравенство перепишем в виде
$$(x+10)(x-3) < 0$$
Решая его методом интервалов, получим $$x\in (-10; 3)$$
С учетом ОДЗ и дополнительного условия получим $$x\in [2,5; 3)$$
Ответ: $$x\in [2,5; 3)$$.