Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что:

$$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$

Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.

Доказательство:

$$\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2-\sin^2x\cos^2x \right )=$$

$$=\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2+2\sin^2x\cos^2x \right )-3\sin^2x\cos^2x=$$

$$=\left (\sin^2x+\cos^2x \right )^2-3\sin^2x\cos^2x=1-3\cdot(\frac{1}{2}\cdot2\sin x\cos x)^2=$$

$$=1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x$$

$$\sin^22x\leqslant 1\Rightarrow 1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x\geqslant \frac{1}{4}$$

Получили $$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$

ч.т.д.

Поделиться

Больше заданий

Задание 41 (Роганін. Тест 4. №35)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем геометрическую задачу, взятую из пособия "Алгебра і початки аналізу: навч. посіб. /...

Задание 21 (формула Бернулли)

Відділ доставки піцерії отримує замовлення на фірмову піцу та інші три види піц, причому 90% клієнтів замовляють фірмову піцу. Визначте ймовірність того,...

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...