Доказать, что:
$$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$
Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.
Доказательство:
$$\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2-\sin^2x\cos^2x \right )=$$
$$=\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2+2\sin^2x\cos^2x \right )-3\sin^2x\cos^2x=$$
$$=\left (\sin^2x+\cos^2x \right )^2-3\sin^2x\cos^2x=1-3\cdot(\frac{1}{2}\cdot2\sin x\cos x)^2=$$
$$=1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x$$
$$\sin^22x\leqslant 1\Rightarrow 1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x\geqslant \frac{1}{4}$$
Получили $$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$
ч.т.д.