Задание 6 (Тригонометрия)

Доказать, что:

$$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$

Рекомендуем ознакомиться с основными формулами: Формулы сокращенного умножения, Тригонометрические формулы.

Доказательство:

$$\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2-\sin^2x\cos^2x \right )=$$

$$=\left ( (\sin^2x)^2+(\cos^2x)^2+2\sin^2x\cos^2x \right )-3\sin^2x\cos^2x=$$

$$=\left (\sin^2x+\cos^2x \right )^2-3\sin^2x\cos^2x=1-3\cdot(\frac{1}{2}\cdot2\sin x\cos x)^2=$$

$$=1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x$$

$$\sin^22x\leqslant 1\Rightarrow 1-\frac{3}{4}\cdot\sin^22 x\geqslant \frac{1}{4}$$

Получили $$\sin^6x+\cos^6x\geqslant 0.25$$

ч.т.д.

Поделиться

Больше заданий

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 17 (уравнение высоты треугольника)

Точки $$A(0;1),;B(6;5),;C(12;-1)$$ являются вершинами треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины $$C$$. Рекомендуем ознакомиться с теоретическим материалом по...

Задание 27 (тригонометрия)

Предлагаем задание на применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение. Задание Найти значение...

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

13 задание пробного ЗНО 2015

Решение 13 тестового задания по математике пробного ЗНО 2015..

Тригонометрические выражения

Пройдите онлайн тест по теме "Тригонометрические выражения" и узнайте, насколько Вы подготовлены к ДПА и ЗНО..

Задание 52

Задание на доказательство. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение..

14 задание ЗНО 2014

Решение 14 задание ЗНО 2014 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание...