Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Решение

$$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — куб со стороной, равной 1. $$AC_1$$ — диагональ куба.

Плоскость сечения фиксируется диагональю $$AC_1$$ и еще какой-либо точкой. Пусть это будет точка $$K\in BB_1$$, которая «бегает» по ребру $$BB_1$$. Таким образом сечение является параллелограммом $$AKC_1L$$.

Площадь параллелограмма можно найти разными способами, воспользуемся формулой $$S_{AKC_1L}=AK\cdot KC_1\cdot \sin \angle K$$.

Пусть $$B_1K=x$$, тогда $$0\leqslant x\leqslant 1$$ (ребро равно 1)

По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle ABK$$: $$AK=\sqrt{1+(1-x)^2}$$

По теореме Пифагора из треугольника $$\triangle KB_1C_1$$: $$KC_1=\sqrt{1+x^2}$$

Рассмотрим треугольник $$\triangle AKC_1$$. По теореме косинусов $$C_1A^2=AK^2+C_1K^2-2\cdot AK\cdot C_1K \cos\angle K$$. Из треугольника $$\triangle ABC$$: $$AC=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$, из треугольника $$\triangle ACC_1$$: $$AC_1=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$$.

Тогда $$\cos\angle K=\frac{(1+x^2)+(1+(1-x)^2)-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{1+x^2+1+1+x^2-2x-3}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=\frac{2(x^2-x)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}=$$

$$=\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

Из основного тригонометрического тождества найдем синус

$$\sin\angle K=\sqrt{1-\cos^2\angle K}=\sqrt{1-\frac{x^2-x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}}=$$

$$=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+1+x^2-2x)-(x^2-x)^2}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\sqrt{\frac{2+x^2-2x+2x^2+x^4-2x^3-x^4-x^2+2x^3}{(1+x^2)(1+(1-x)^2)}}=$$

$$=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+(1-x)^2}}$$

Тогда площадь сечения $$S=\frac{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{1+x^2}\cdot\sqrt{1+(1-x)^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

$$S(x)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2-x+1}$$

Найдем производную $$S'(x)=\sqrt{2}\cdot\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$$

$$x^2-x+1\neq 0$$, так как $$D=1-4 < 0$$

$$S'(x)=0$$

$$2x-1=0$$

$$x=\frac{1}{2}$$ — точка экстремума

Подставим в функцию экстремальное значение и значения на концах отрезка $$[0;1]$$

$$S(0)=\sqrt{2}$$

$$S(\frac{1}{2})=\sqrt{2}\sqrt{(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

$$S(1)=\sqrt{2}\sqrt{1^2-1+1}=\sqrt{2}$$

Таким образом получили минимальное значение площади $$S=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ при $$x=\frac{1}{2}$$ (то есть $$K$$ — середина ребра $$BB_1$$ и сечение $$AKC_1L$$ — ромб) и максимальное значение площади $$S=\sqrt{2}$$ при $$x=0$$ (прямоугольное сечение $$AB_1C_1D$$) и при $$x=1$$ (прямоугольное сечение $$ABC_1D_1$$).

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей. Вычислить определители: $$begin{vmatrix}...

Задание 36 (ЕГЭ. B12 №27970)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию задание, являющееся прототипом задания B12 №27970 на ЕГЭ.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

Задание 28 (корни и степени)

Задание на упрощение выражения. Применение свойств корней и степеней.

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №19 ЗНО 2014

Решение 19 тестового задания ЗНО 2014 по математике..