Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника.

Решение:

$$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ — арифметическая прогрессия.

$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d$$

$$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ — катеты, $$a_{3}$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$

По условию $$a_{1}=a\Rightarrow a_{2}=a+d,\; a_{3}=a+2d$$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $$d:$$

$$\left (a+2d \right )^2=a^2+\left ( a+d \right )^2$$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$

Приведем подобные слагаемые:

$$3d^2+2ad-a^2=0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$

$$d_{1}=\frac{-a-2a}{3}=-a$$ — посторонний корень

$$d_{2}=\frac{-a+2a}{3}=\frac{1}{3}a$$

$$d=\frac{1}{3}a\Rightarrow a_{2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a, \; a_{3}=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a$$

Найдем площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4}{3}a$$

$$S=\frac{2}{3}a^2$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 13 (нахождение наибольшего и наименьшего значения функции)

Задание Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=-8x^6+9x^4-2x^2-3$$ на отрезке $$$$ Решение:

Задание 64 (угол между часовой и минутной)

Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38 минут

Задание 46 (Логарифмы)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике рассмотрим задание на преобразование логарифмических выражений. Задание

Задание 32 (расстояние от точки до плоскости)

Найти расстояние от точки $$M(3; 5; -8)$$ до плоскости $$6x - 3y + 2z - 28 = 0$$.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..