Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника.

Решение:

$$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ — арифметическая прогрессия.

$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d$$

$$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ — катеты, $$a_{3}$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$

По условию $$a_{1}=a\Rightarrow a_{2}=a+d,\; a_{3}=a+2d$$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $$d:$$

$$\left (a+2d \right )^2=a^2+\left ( a+d \right )^2$$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$

Приведем подобные слагаемые:

$$3d^2+2ad-a^2=0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$

$$d_{1}=\frac{-a-2a}{3}=-a$$ — посторонний корень

$$d_{2}=\frac{-a+2a}{3}=\frac{1}{3}a$$

$$d=\frac{1}{3}a\Rightarrow a_{2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a, \; a_{3}=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a$$

Найдем площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4}{3}a$$

$$S=\frac{2}{3}a^2$$

Поделиться

Больше заданий

Задание 14 (решение при помощи кругов Эйлера-Венна)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу, которую будем решать при помощи кругов (диаграмм) Эйлера-Венна.

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение: $$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$ Решение: Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного...

Задание 49 (логарифмы)

Решение задания 49 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 15 (подобие треугольников)

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 5 см. Найдите отрезки, на которые высота, проведенная...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..