Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию?

Решение:

Очевидно, что это не может быть равнобедренный треугольник, поэтому если один из углов будет равен  $$\alpha\;\left (0<\alpha<\frac{\pi}{4} \right ),$$ то другой угол будет  $$\frac{\pi}{2}-\alpha.$$

Так как в первой четверти синус возрастает, то расположение членов предполагаемой арифметической прогрессии будет следующим:

$$a_{1}=\sin\alpha;\;a_{2}=\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right );\;a_{3}=\sin\frac{\pi}{2}$$

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\Rightarrow 2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$

$$2\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha+\sin\frac{\pi}{2}$$

$$2\cos\alpha=\sin\alpha+1$$

$$\sin\alpha-2\cos\alpha=-1$$

По формулам преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi);\text{tg} \phi=\frac{b}{a};\;\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}};\;\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

$$a=1,\;b=2$$

$$\sqrt{5}\sin(\alpha-\text{arctg}2)=-1$$

$$\sin(\alpha-\text{arctg}\,2)=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\alpha-\text{arctg}\,2=\arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

$$\alpha=\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Возьмем тангенс от обеих частей:

$$\text{tg}\,\alpha=\text{tg}\,\left (\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

По формулам суммы и разности углов тригонометрических функций:

$$\text{tg}\,\left (x-y \right )=\frac{\text{tg}\, x-\text{tg}\, y}{1+\text{tg}\, x \cdot \text{tg}\, y}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right )-\text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}{1+\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right ) \cdot \text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}$$

$$\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=\phi\Rightarrow \sin\phi=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow a=2,\; b=1\Rightarrow \text{tg}\,\phi=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\cdot\frac{1}{2}}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{3}{4}$$

$$\alpha=\text{arctg}\,\frac{3}{4}$$

Так как $$0<\frac{3}{4}<1,$$ то $$0<\alpha<\frac{\pi}{4}$$ и такой треугольник существует.

Поделиться

Больше заданий

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 24 (текстовая задача на движение)

Предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу на движение (по воде) в рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике.

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц. Найти значение выражения $$A^2B-2B+C^{T},$$ если

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию? Решение: Очевидно, что...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..
Предыдущий материалЗадание 8 (Прогрессии. Геометрия)
Следующий материалЗадание 10 (Графики)