Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию?

Решение:

Очевидно, что это не может быть равнобедренный треугольник, поэтому если один из углов будет равен  $$\alpha\;\left (0<\alpha<\frac{\pi}{4} \right ),$$ то другой угол будет  $$\frac{\pi}{2}-\alpha.$$

Так как в первой четверти синус возрастает, то расположение членов предполагаемой арифметической прогрессии будет следующим:

$$a_{1}=\sin\alpha;\;a_{2}=\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right );\;a_{3}=\sin\frac{\pi}{2}$$

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\Rightarrow 2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$

$$2\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha+\sin\frac{\pi}{2}$$

$$2\cos\alpha=\sin\alpha+1$$

$$\sin\alpha-2\cos\alpha=-1$$

По формулам преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi);\text{tg} \phi=\frac{b}{a};\;\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}};\;\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

$$a=1,\;b=2$$

$$\sqrt{5}\sin(\alpha-\text{arctg}2)=-1$$

$$\sin(\alpha-\text{arctg}\,2)=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\alpha-\text{arctg}\,2=\arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

$$\alpha=\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Возьмем тангенс от обеих частей:

$$\text{tg}\,\alpha=\text{tg}\,\left (\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

По формулам суммы и разности углов тригонометрических функций:

$$\text{tg}\,\left (x-y \right )=\frac{\text{tg}\, x-\text{tg}\, y}{1+\text{tg}\, x \cdot \text{tg}\, y}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right )-\text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}{1+\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right ) \cdot \text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}$$

$$\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=\phi\Rightarrow \sin\phi=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow a=2,\; b=1\Rightarrow \text{tg}\,\phi=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\cdot\frac{1}{2}}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{3}{4}$$

$$\alpha=\text{arctg}\,\frac{3}{4}$$

Так как $$0<\frac{3}{4}<1,$$ то $$0<\alpha<\frac{\pi}{4}$$ и такой треугольник существует.

Поделиться

Больше заданий

Задание 44 (текстовая задача)

1 и 2 краны наполняют ванну водой за 20 мин, 2 и 3 - за 15 мин, а 1 и 3 - за 12 мин. За сколько минут наполняют такую же ванну три крана, работая вместе?

Задание 51 (Логарифмическое неравенство)

Решение логарифмического неравенства (задание 51) по запросу из группы ВКонтакте..

Задание 50 (логарифмы)

Решение задания 50 на свойства логарифмов из группы ВКонтакте..

Задание 22 (Канонічний вид кривої другого порядку)

Рівняння лінії другого порядку $$x^2-y^2-4x+2y+7=0$$ привести до найпростішого виду. Розв’язування. Згадаємо теорію: Рівняння кривих другого...

Задание 30 (найти значение разности арктангенсов)

В рамках подготовки учеников 11 класса к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) предлагаем задание на вычисление значения разности арктангенсов.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

27 задание пробного ЗНО 2015

Решение 27 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..
Предыдущий материалЗадание 8 (Прогрессии. Геометрия)
Следующий материалЗадание 10 (Графики)