ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 13-18]

Задание 13

Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

АБВГД
285670112інша відповідь

Решение:

Правильной называется та дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.

Если в числителе будет число 2, то в знаменателе могут быть числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — 7 правильных дробей.

Для числа 3 — 6 правильных дробей (в знаменателях: 4, 5, 6, 7, 8, 9), т.е. на 1 дробь меньше.

Аналогично для числа 4 — 5 , для 5 — 4, для 6 — 3, для 7 — 2 и для 8 — 1 правильная дробь.

Получили арифметическую прогрессию ($$a_{1}=7, a_{7}=1, n=7$$). Найдем сумму семи первых членов данной прогрессии:

$$7+6+5+4+3+2+1=\frac{7+1}{2}\cdot 7=28$$

Ответ: А.

Задание 14

Розв’яжіть нерівність $$\log_{0.5}{5}<\log_{0.5}{x}$$

АБВГД
$$(-5;0)$$$$(0;5)$$$$(5;\infty)$$$$(0.5;5)$$$$(-\infty;5)$$

Решение:

ОДЗ: $$x>0$$

$$\log_{0.5}x$$ — убывающая функция, т.к. основание логарифма $$0<0.5<1$$ $$\log_{0.5}5<\log_{0.5}x\Rightarrow 5>x$$

С учетом ОДЗ получили: $$0<x<5$$

Ответ: Б.

Задание 15

Укажіть корінь рівняння $$|x^2-6x|=9$$, який належить проміжку $$(-2;1]$$

АБВГД
$$3-3\sqrt{2}$$$$3-\sqrt{2}$$$$1$$$$2$$$$4-2\sqrt{2}$$

Решение:

Преобразуем модуль: $$|x^2-6x|=|x\cdot(x-6)|=|x|\cdot|x-6|$$, тогда уравнение перепишем в следующем виде: $$|x|\cdot|x-6|=9$$

Найдем значения переменной, где обнуляется каждый из модулей: $$x=0, x=6$$.

Числовая ось разбивается на три промежутка: $$x<0, 0\leqslant x<6, x\geqslant 6$$ Учитывая условие, раскроем модули на двух промежутках: при $$x \in (-2;0)$$ и $$x \in [0;1]$$ I. $$x \in (-2;0)$$

$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow -x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow x^2-6x-9=0$$

Воспользуемся формулой дискриминанта для четного $$b=2k$$

$$D_{1}=k^2-ac, a=1, k=-3, c=-9\Rightarrow D_{1}=9+9=18, \sqrt{D_{1}}=3\sqrt{2}$$

$$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{D_{1}}}{a}$$

$$x_{1}=\frac{3+ 3\sqrt{2}}{1}=3+3\sqrt{2}\notin (-2;0)$$ — не корень.

$$x_{2}=3-3\sqrt{2}\in (-2;0)$$ — корень.

II. $$x \in [0;1]$$

$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow$$

$$\Rightarrow -x^2+6x-9=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3)^2=0\Rightarrow x=3\notin[0;1]$$ — не корень.

Ответ: А.

Задание 16

Розв’яжіть рівняння: $$3^x=\frac{2\sqrt{3}}{6}$$

АБВГД
рівняння не має коренів$$x=-1$$$$x=-0.5$$$$x=0.5$$$$x=1$$

Решение:

$$3^x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 3^x=3^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

Ответ: В.

Задание 17

Укажіть область значень функції $$y=\sqrt{x^2+9}-6$$

АБВГД
$$[9;\infty)$$$$[0;\infty)$$$$[3;\infty)$$$$[-3;\infty)$$$$(-\infty;\infty)$$

Решение:

$$x^2\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{x^2+9}\geqslant 3\Rightarrow \sqrt{x^2+9}-6\geqslant-3$$

Ответ: Г.

Задание 18

На рисунку зображено графіки функцій $$g(x)=\sqrt{4-x}$$ і $$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}$$. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність $$f(x)\leqslant g(x)$$.

АБВГД
$$(-\infty;0]$$$$[-8;\infty)$$$$[0;\infty)$$$$[0;4]$$$$[-8;0]$$

Решение:

$$D(f): x\in [-8;\infty)$$

$$D(g): x\in (-\infty;4]$$

Решением неравенства будет тот промежуток, где график функции $$g(x)$$ выше графика функции $$f(x)$$, т.е. $$[-8;0]$$

Ответ: Д.

Поделиться

Обратите внимание

Материалы по теме