Задание 25
У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.
А | Б | В | Г | Д |
$$1:\pi$$ | $$2:\pi$$ | $$1:2$$ | $$2:3$$ | $$1:3$$ |
Решение:
Объем цилиндра $$V_{1}=\pi R^2 H$$
Объем шара $$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^3$$
В нашем случае $$H=2R\Rightarrow V_{1}=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3$$
$$V_{1}-V_{2}=2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$$
$$\frac{V_{1}-V_{2}}{V_{2}}=\frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{1}{2}$$
Ответ: В.
Задание 26
Обчисліть $$2\sqrt{13}\cos(arctg\frac{2}{3})$$
Решение:
Пусть $$arctg\frac{2}{3}=a$$, тогда $$tg a=\frac{2}{3}$$
$$\cos(arctg\frac{2}{3})=\cos a$$
Вспомним формулы: $$\cos a=\sqrt{\frac{1+\cos2a}{2}}, \cos2a=\frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}$$
$$\cos2a=\frac{1-\left ( \frac{2}{3} \right )^2}{1+\left ( \frac{2}{3} \right )^2}=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}}=\frac{5}{13}$$
$$\cos a=\sqrt{\frac{1+\frac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{18}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$$
$$2\sqrt{13}\cos(arctg\frac{2}{3})=2\sqrt{13}\frac{3}{\sqrt{13}}=6$$
Ответ: 6.
Задание 27
Обчисліть суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії, у якої $$b_{n}=5\cdot 3^{-n}$$
Решение:
$$b_{1}=5\cdot 3^{-1}=\frac{5}{3}, b_{2}=5\cdot 3^{-2}=\frac{5}{9}, q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{3}$$
$$S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}=2.5$$
Ответ: 2.5
Задание 28
Розв’яжіть рівняння $$x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0$$. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.
Решение:
$$\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x$$
ОДЗ: $$2x^2-14x+13\geqslant 0$$
Т.к. $$\sqrt{2x^2-14x+13}\geqslant 0$$, то $$5-x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant 5$$
Возведем в квадрат обе части уравнения:
$$2x^2-14x+13=\left (5-x \right )^2$$
$$2x^2-14x+13=25+x^2-10x$$
$$x^2-4x-12=0$$
По теореме Виета: $$x_{1}+x_{2}=4, x_{1}\cdot x_{2}=-12\Rightarrow x_{1}=-2, x_{2}=6$$
$$x_{2}=6>5$$ – посторонний корень.
Выполним проверку для $$x=-2$$
$$-2-5+\sqrt{2\cdot(-2)^2-14\cdot(-2)+13}=0$$
$$-7+\sqrt{8+28+13}=0$$
$$-7+\sqrt{49}=0$$
$$-7+7=0$$
$$0=0$$ – верно
Ответ: -2
Задание 29
Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить 0,25, а в другому − 0,4. На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою 50 кілограмів, концентрація солі в якому − 0,34.
Решение:
1 раствор: $$x$$ кг – $$0.25x$$ кг соли
2 раствор: $$y$$ кг – $$0.4y$$ кг соли
смесь: 50 кг – $$0.34\cdot50=17$$ кг соли
Составим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix} x + y = 50\\ 0.25x + 0.4y = 17 \end{matrix}\right.$$
Выразим $$x$$ из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:
$$\left\{\begin{matrix} x = 50-y\\ 0.25\cdot(50-y) + 0.4y = 17 \end{matrix}\right.$$
$$12.5-0.25y+0.4y=17$$
Для смеси в 50 кг с концентрацией соли 0.34 нужно взять 20 кг первого раствора и 30 кг второго, т.е. на 10 кг больше.
Ответ: 10.
Задание 30
У коробці 80 цукерок, з яких 44 − з чорного шоколаду, а решта − з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
Решение:
$$P(A)=\frac{m}{n}$$
$$A$$ – конфета из белого шоколада
$$m=80-44=36$$ – число благоприятных исходов.
$$n=80$$ – число всех исходов
Т.е. $$P(A)=\frac{36}{80}=0.45$$
Ответ: 0.45