ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 31-36]

Задание 31

Використовуючи графік рівняння $$|y|=1-|x-12|$$ (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра $$a$$, при яких система $$\left\{\begin{matrix} |x-12| + |y| = 1 \\ (x-a)^2 + y^2 = 4 \end{matrix}\right.$$ має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх суму.

Решение:

$$(x-a)^2 + y^2 = 4$$- уравнение окружности с центром в точке $$(a;0)$$ и радиусом, равным 2.

Решением системы являются точки пересечения графиков функций. Система будет иметь единственное решение лишь в том случае, когда графики пересекаются лишь в одной точке.

Изобразим на рисунке все такие случаи.

Параметр $$a$$ может принимать следующие значения: 9; 11; 13 и 15.

9+11+13+15=48.

Ответ: 48.

Задание 32

Визначте кут між векторами $$\overrightarrow{a}$$ і $$\overrightarrow{b+c}$$ у градусах, якщо відомо, що $$\overrightarrow{a}(2;2)$$, $$\overrightarrow{b}(2;4)$$ і $$\overrightarrow{c}(-2;-6)$$.

Решение:

$$\overrightarrow{b+c}=\overrightarrow{(2+(-2);4+(-6))}=\overrightarrow{(0;-2)}$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}=2\cdot0+2\cdot(-2)=-4$$

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, |\overrightarrow{b+c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2$$

$$\angle \widehat{(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b+c})}=arccos\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b+c}|}=arccos\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot 2}=arccos (-\frac{1}{2})=$$

$$=\pi-arccos\frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}=135^{\circ}$$

Ответ: $$135^{\circ}$$

Задание 33

На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Решение:

$$S_{1}=\pi R l$$ — площадь боковой поверхности конуса, где $$R$$ — радиус основания, $$l$$ — образующая конуса.

$$S_{2}=\pi R^2$$ — площадь круга.

$$S_{3}=S_{1}+S_{2}$$ — площадь полной поверхности конуса.

$$\frac{S_{3}}{S_{1}}$$ — отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности.

$$R=6, l=15\Rightarrow S_{1}=6\cdot15\cdot \pi=90\pi, S_{2}=6^2\pi=36\pi,$$

$$S_{3}=90\pi+36\pi=126\pi\Rightarrow \frac{S_{3}}{S_{1}}=\frac{126\pi}{90\pi}=1.4$$

Ответ: 1.4

Задание 34

У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму KL, паралельно до ребра , проведено площину α. Знайдіть кут ϕ між площиною α і площиною (АВС).

Решение:

В основании правильный треугольник $$ABC$$, значит $$OC=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$, где $$O$$ — центр,$$R$$ — радиус описанной около треугольника окружности, $$a$$ — сторона треугольника. По условию ребро в два раза больше стороны основания, т.е. $$SC=2a$$.

$$\angle OMN=\angle OCS=\phi, \angle SOC=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\phi=\frac{OC}{SC}=\frac{R}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cdot a\cdot 3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Ответ: $$\phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}$$.

Задание 35

Розв’яжіть систему нерівностей $$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{x^2-1} \leqslant 1,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}} \leqslant 0.25^{x-3}. \end{matrix}\right.$$

Решение:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x+1)} -1 \leqslant 0,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}} \leqslant 4^{-x+3}. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-2x+3x-6-x^2+1}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x-5}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0,\\ \sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x. \end{matrix}\right.$$

Рассмотрим первое неравенство системы

$$\frac{x-5}{(x-1)(x+1)}\leqslant 0$$

$$x\in(-\infty;-1)\cup(1; 5]$$

Рассмотрим второе неравенство системы

$$\sqrt{9-x^2} \leqslant 3-x$$

Иррациональное неравенство эквивалентно системе

$$\left\{\begin{matrix} 9-x^2 \geqslant 0\\ 3-x \geqslant 0 \\ (\sqrt{9-x^2})^2 \leqslant (3-x)^2 \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} (x-3)(x+3) \leqslant 0\\ x \leqslant 3 \\ 9-x^2 \leqslant 9+x^2-6x \end{matrix}\right.$$

Для первых двух неравенств системы

$$x\in[-3; 3]$$

Рассмотрим третье неравенство

$$2x^2-6x\geqslant 0$$

$$x(x-3)\geqslant 0$$

$$x\in(-\infty; 0]\cup[3;\infty)$$

Итак, получили систему

$$\left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\cup(1; 5]\\ x\in[-3; 3]\\ x\in(-\infty; 0]\cup[3;\infty) \end{matrix}\right.$$

$$x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}$$

Ответ: $$x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}.$$

Задание 36

Задано функцію $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$.

  1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
  2. Побудуйте ескіз графіка функції $$f(x)$$.
  3. Знайдіть кількість коренів рівняння $$f(x)=a$$, де $$a\in \mathbb{R}$$, залежно від значення параметра $$a$$.

Решение:

1. Найдем производную функции $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$

$${f}'(x)=12x^3-12x^2-24x$$

Найдем критические точки из условия, когда производная равна нулю либо не существует

$${f}'(x)=0\Rightarrow 12x^3-12x^2-24x=0\Rightarrow 12x(x^2-x-2)=0$$

$$x=0$$ или $$x^2-x-2=0$$

$$x^2-x-2=0$$

По теореме Виета: $$x_{1}\cdot x_{2}=-2, x_{1}+x_{2}=1\Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=2$$

Т.е. $$x=0, x=-1, x=2$$ — критические точки

Отметим критические точки на числовой оси, определим знак, который принимает производная на каждом из промежутков. Если на промежутке производная $${f}'(x)>0$$ (ставим знак «+»), то функция $$f(x)$$ возрастает на этом промежутке, а если $${f}'(x)<0$$ (ставим знак «-«), то функция $$f(x)$$ убывает на этом промежутке. Если критическая точка принадлежит области определения функции, то при переходе с «+» на «-» критическая точка является точкой максимума, а с «-» на «+» — минимума. При $$x\in (-\infty; -1)\cup (0;2)$$ функция убывает

При $$x\in (-1;0)\cup (2; \infty)$$ функция возрастает

$$x=-1\Rightarrow y=-5\Rightarrow (-1;-5)$$ — точка минимума

$$x=0\Rightarrow y=0\Rightarrow (0;0)$$ — точка максимума

$$x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow (2;-32)$$ — точка минимума

2. Изобразим эскиз графика функции $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$

3. Найдем количество корней уравнения $$f(x)=a$$, где $$a\in \mathbb{R}$$, в зависимости от параметра.

Для этого нужно провести прямую $$y=a$$ (параллельно оси Ox). Количество точек пересечения графика функции $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$ с прямой $$y=a$$ является количеством корней уравнения $$f(x)=a$$.

1) $$a\in(-\infty;-32)$$ — нет корней;

2) $$a=-32$$ — 1 корень;

3) $$a\in(-32;-5)\cup (0;\infty)$$ — 2 корня;

4) $$a=0$$ — 3 корня;

5) $$a\in (-5;0)$$ — 4 корня.

Поделиться

Обратите внимание

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 1-6]

Решение тестовых заданий 1-6 ВНО (ЗНО) - 2008 по математике..

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 7-12]

Задание 7 Укажіть правильну нерівність, якщо $$a=5sqrt{2}, b=7, c=sqrt{51}$$ АБВГД$$b<a<c$$$$a<b<c$$$$c<a<b$$$$a<c<b$$$$b<c<a$$ Решение:

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 13-18]

Задание 13 Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4,...

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 19-24]

Задание 19 На рисунку зображено графік функції $$y=f(x)$$. Укажіть формулу для обчислення площі...

ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 25-30]

Задание 25 У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву...

Материалы по теме

Задание 61 (уравнение с параметром)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых все корни уравнения $$(p-3)x^2-2px+6p=0$$ положительны.

Задание 60 (система с параметром)

Сколько различных решений в зависимости от параметра $$a$$ имеет система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=x^2+a\\x=xy-a \end{matrix}\right.$$?

34 задание ЗНО 2014

Решение 34 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

Тест «Целые уравнения» с выбором ответа

Оцените, насколько Вы готовы к ДПА и ЗНО по математике, пройдя онлайн тест "Целые уравнения" с выбором ответа.