Решение заданий 25-28
Задание 25
Петро, Микола та Василь уранці відвідали кафе і кожен із них замовив собі на сніданок бутерброд та гарячий напій. Відомо, що Василь не п’є чорного чаю, а Микола замовив собі бутерброд із шинкою. Скориставшись таблицею, визначте, скільки грошей (у грн) буде коштувати Миколі, Василю і Петру разом найдешевше замовлення в цьому кафе.
Страви | Ціна, грн |
Бутерброд із сиром | 7.00 |
Бутерброт із шинкою | 15.00 |
Бутерброд із рибою | 17.00 |
Кава з молоком | 13.00 |
Кава | 12.00 |
Чай чорний | 8.00 |
Чай зелений | 9.00 |
Решение:
Составим самый дешевый заказ:
Вася заказал зеленый чай, а Петя и Коля – по черному чаю. Коля заказал бутерброд с ветчиной, а Вася и Петя – бутерброды с сыром.
$$9+2\cdot8+15+2\cdot7=54$$
Ответ: 54.
Задание 26
Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 1, 5, 7 і 8 так, щоб у кожному числі всі цифри не повторювалися?
Решение:
Первую цифру можно выбрать четырьмя способами, а вторую – тремя. Применив правило умножения, получим: $$4\cdot3=12$$
Ответ: 12.
Задание 27
Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} y + x = 3 \\ x^2 + 4 = 8y \end{matrix}\right.$$
Якщо пара $$(x_0;y_0)$$ є єдиним розв’язком цієї системи, то запишіть у відповідь добуток $$x_0\cdot y_0.$$ Якщо пари $$(x_1;y_1)$$ та $$(x_2;y_2)$$ є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків $$x_1\cdot y_1$$ та $$x_2\cdot y_2$$.
Решение:
$$y=3-x$$
$$x^2+4=8(3-x)$$
$$x^2+8x-20=0$$
Корни квадратного уравнения найдем по теореме Виета:
$$x_1\cdot x_2=-20;\;x_1+x_2=-8\Rightarrow x_1=-10;\; x_2=2$$
Тогда: $$y_1=13;\; y_2=1$$
Найдем произведения:
$$x_1\cdot y_1=-130;\;x_2\cdot y_2=2$$
Наименьшим произведением является $$x_1\cdot y_1=-130$$
Ответ: -130.
Задание 28
Бісектриса кута $$A$$ прямокутника $$ABCD$$ перетинає його більшу сторону $$BC$$ в точці $$M$$. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо $$BC = 24$$ см, $$AM = 10\sqrt{2}$$ см.
Решение:
$$AM$$ – биссектриса прямого угла, значит $$ABM$$ – прямоугольный равнобедренный треугольник, т.е. $$AB=BM$$.
Из определения тригонометрических функций и таблицы значений некоторых углов:
$$AB=BM=AM\cdot\cos45^{\circ}=10\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=10$$
Опустим перпендикуляры из середин сторон прямоугольника на противоположные стороны. Они пересекутся в точке $$O$$, которая является центром описанной окружности. Найдем радиус данной окружности (рассмотрим прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см; $$OB$$ является диагональю полученного прямоугольника и радиусом описанной окружности; найдем $$OB$$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 5 см):
$$R=OB=\sqrt{144+25}=13$$
Ответ: 13.