ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 27 задание

Розв’яжіть нерівність $$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}\geqslant1.$$

У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.

Решение:

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}-1\geqslant0$$

$$\frac{4x+6(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые

$$\frac{4x+6x+18-x^2-3x}{x(x+3)}\geqslant 0$$

$$\frac{-x^2+7x+18}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Рассмотрим многочлен $$-x^2+7x+18$$ и найдем его корни

$$-x^2+7x+18=0$$ — квадратное уравнение

По теореме Виета $$x_1=-2, x_2=9$$

Значит по формуле разложения $$-x^2+7x+18=-1(x+2)(x-9)$$

Вернемся к неравенству

$$\frac{-1(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Домножим обе части неравенства на $$-1$$ при этом изменив знак неравенства на противоположный

$$\frac{(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\leqslant 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов

$$x\in(-3;-2]\cup(0;9]$$

$$-2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=-2+\frac{1+9}{2}\cdot9=-2+45=43$$ (воспользовались суммой первых девяти членов арифметической прогрессии 1; 2; 3; …)

Ответ: 43.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 58 (неравенства)

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.