ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 32 задание

Основою піраміди $$SABCD$$ є трапеція $$ABCD$$ $$(AD\parallel BC),$$ довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $$SB$$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $$ABCD.$$

Знайдіть відстань від середини ребра $$SD$$ до площини $$SBC$$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 240 см3.

Решение:

$$ABCD$$ — трапеция, площадь которой вычисляется по формуле $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE,$$

где

$$\frac{AD+BC}{2}=5$$ см — средняя линия,

$$DE$$ — высота трапеции $$ABCD.$$

Значит $$S_{ABCD}=5DE.$$

$$SABCD$$ — пирамида, объем которой вычисляется по формуле $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{OCH}\cdot H,$$

где

$$S_{OCH}=S_{ABCD}$$ — площадь основания пирамиды,

$$H=SB=2\cdot5=10$$ см — высота пирамиды.

Значит $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SB.$$

Так как объем пирамиды равен 240 см3, то $$240=\frac{1}{3}\cdot5\cdot DE\cdot10\Rightarrow DE=\frac{240\cdot3}{50}=\frac{72}{5}$$ см.

Точка $$D_1$$ — середина ребра $$SD.$$ Для нахождения расстояния от точки $$D_1$$ до плоскости $$SBC,$$ проведем через $$D_1$$ сечение, параллельное к плоскости основания (см. рисунок).

В сечении получим трапецию $$A_1B_1C_1D_1,$$ подобную трапеции $$ABCD$$ (из построения).

По свойству подобия $$\frac{DE}{D_1E_1}=\frac{2}{1}\Rightarrow D_1E_1=\frac{DE}{2}=\frac{72}{5\cdot2}=7.2$$ см.

Ответ: 7.2.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.