ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 28 задание

Найти наибольшее значение функции $$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Решение

Используем свойства косинусоиды. Областью значений косинуса является отрезок [ −1; 1].

$$-1\leqslant\cos x\leqslant 1$$

Умножим двойное неравенство на $$-2<0,$$ изменив при этом знаки неравенства на противоположные. Запишем двойное неравенство в привычном виде (меньшее слева, большее справа).

$$-2\leqslant -2\cos x\leqslant 2$$

Прибавим 1

$$-1\leqslant 1-2\cos x\leqslant 3$$

Перед возведением в четвертую степень вспомним следующие утверждения:

Первое

Неравенства $$f (x) > g (x)$$ и $$(f (x))^{2m}> (g (x))^{2m},$$ где $$m\in\mathbb{N},$$ равносильны на том множестве $$M,$$ где $$f(x)\geqslant 0$$ и $$g(x) \geqslant 0.$$

Второе

Неравенство, обе части которого  положительны, можно возвести в любую натуральную  степень.

Возведем в 4-ю степень

$$0\leqslant (1-2\cos x)^4\leqslant 81$$

Разделим на $$2>0,$$ оставив при этом знаки неравенства неизменными

$$0\leqslant \frac{(1-2\cos x)^4}{2}\leqslant 40.5$$

Следовательно, наибольшее значение функции $$y$$ равно $$40.5.$$

График функции
$$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Ответ: $$40.5.$$

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

21 задание пробного ЗНО 2015

Решение 21 задания пробного ЗНО 2015 по математике..