ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 32 задание

В основании пирамиды ромб, тупой угол которого равен $$120^{\circ}.$$ Две боковые грани пирамиды, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $$30^{\circ}.$$ Найти площадь боковой поверхности пирамиды (в см2), если ее высота равна 4 см.

Решение

$$SABCD$$ — пирамида. $$ABCD$$ — ромб: $$\angle ABC=\angle ADC=120^{\circ},$$ $$\angle BAD = \angle BCD=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ},$$ $$BE \perp DC,$$ $$BE$$ — высота ромба. $$(SBA)\perp (ABCD),$$ $$(SBC)\perp (ABCD),$$ т.е. $$SB=5$$ см — высота пирамиды. $$\angle SEB=30^{\circ}$$

$$\triangle SBA=\triangle SBC$$ (по двум сторонам: $$SB$$ — общая, $$AB=BC$$ и углу между ними: $$\angle SBA=\angle SBC =90^{\circ}$$), значит $$SA=SC$$ и $$S_{\triangle SBA}=S_{\triangle SBC}.$$

$$\triangle SDA=\triangle SDC$$ (по трем сторонам $$SD$$ — общая, $$AD=DC,$$ $$SA=SC$$), значит $$S_{\triangle SDA}=S_{\triangle SDC}.$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:

$$S=S_{\triangle SBA}+S_{\triangle SBC}+S_{\triangle SDA}+S_{\triangle SDC}=2(S_{\triangle SBC}+S_{\triangle SDC})$$

Площади треугольников можно найти по формулам: $$S_{\triangle SBC}=\frac{1}{2}BC\cdot SB$$ и $$S_{\triangle SDC}=\frac{1}{2}DC\cdot SE.$$

Значит $$S=2(\frac{1}{2}BC\cdot SB+\frac{1}{2}DC\cdot SE)=BC\cdot SB+BC\cdot SE=BC(SB+SE)$$

Рассмотрим $$\triangle SBE:$$ $$\angle B=90^{\circ},$$ $$\angle E=30^{\circ},$$ $$SB=5$$ см — катет против угла в $$30^{\circ}$$ и он равен половине гипотенузы $$SE,$$ значит $$SE=10$$ см. По теореме Пифагора $$BE=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{(10-5)(10+5)}=\sqrt{5\cdot15}=\sqrt{5^2\cdot3}=5\sqrt{3}$$ см.

$$BE$$ — высота ромба и высота равностороннего треугольника $$BCD$$ (углы по $$60^{\circ}$$) может быть вычислена по формуле $$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a,$$ где $$a$$ — сторона равностороннего треугольника (она же является и стороной ромба).

Значит, с одной стороны $$BE=5\sqrt{3}$$ см, а с другой — $$BE=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$ Приравняем и найдем сторону ромба: $$a=\frac{5\sqrt{3}\cdot2}{\sqrt{3}}=10$$ см.

Тогда $$S=10(5+10)=150$$ см2.

Ответ: 150.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.