Задание 17
Розв’яжіть рівняння $$2\sin x=1.$$
| А | $$\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$ |
| Б | $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$ |
| В | $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$ |
| Г | $$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$ |
| Д | $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$ |
Решение:
$$\sin x=\frac{1}{2}$$ – простейшее тригонометрическое уравнение
$$x=(-1)^n arcsin\frac{1}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
$$x=(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
Ответ: Д.
Задание 18
До складу української Прем’єр-ліги з футболу входять 16 команд. Упродовж сезону кожні дві команди грають між собою 2 матчі. Скільки всього матчів буде зіграно за сезон?
| А | Б | В | Г | Д |
| 120 | 128 | 200 | 240 | 256 |
Решение:
Вероятностная задача на размещение.
$$A_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$ – количество размещений из n по k.
$$A_{16}^2=\frac{16!}{(16-2)!}=\frac{16!}{14!}=\frac{16\cdot15\cdot14!}{14!}=16\cdot15=240$$
Ответ: Г.
Задание 19
Гострий кут паралелограма дорівнює $$60^{\circ},$$ а його сторони – 3 см і 4 см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.
| А | Б | В | Г | Д |
| $$\sqrt{37}$$ см | $$\sqrt{31}$$ см | 5 см | $$\sqrt{19}$$ см | $$\sqrt{13}$$ см |
Решение:
ABCD – параллелограмм. AB=DC=3 см, AD=BC=4 см, BD – меньшая диагональ параллелограмма. $$\angle A=60^{\circ}.$$ Рассмотрим треугольник ABD.
$$BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\angle A$$
$$BD^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot 4\cdot \cos60^{\circ}=9+16-24\cdot\frac{1}{2}=13$$
$$BD=\sqrt{13}$$
Ответ: Д.
Задание 20
Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.
| А | Б | В | Г | Д |
| 125 | 50 | 25 | 10 | 5 |
Решение:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$ – объем исходного шара, $$V_{1}=\frac{4}{3}\pi r^3$$ – объем полученного шара. $$R=5, r=1.$$
Для нахождения количества найдем отношение объемов исходного шара к полученному: $$\frac{V}{V_{1}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{R^3}{r^3}=\frac{5^3}{1^3}=125$$
Ответ: А.
Задание 21
Обчисліть $$\frac{2^{-1.6}\cdot 4^{4.8}}{8^{\frac{2}{3}}}.$$
Решение:
$$\frac{2^{-1.6}\cdot 4^{4.8}}{8^{\frac{2}{3}}}=\frac{2^{-1.6}\cdot (2^2)^{4.8}}{(2^3)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2^{-1.6}\cdot 2^{9.6}}{2^2}=2^{-1.6+9.6-2}=2^6=64$$
Ответ: 64.
Задание 22
У трапеції ABCD : $$\angle A=90^{\circ}$$ AB=12 см (див. рисунок). Діагональ BD ділить середню лінію KL трапеції на відрізки KM і ML , причому KM=5,5 см і ML = 3 см. Обчисліть периметр трапеції ABCD (у см).
Решение:
$$KL=\frac{AD+BC}{2},KL=KM+ML=5.5+3=8.5\Rightarrow AD+BC=17$$ см
$$\triangle ABD\sim \triangle KBM\Rightarrow \frac{AB}{KB}=\frac{AD}{KM}\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot KM}{KB}=\frac{12\cdot 5.5}{6}=11$$ см
$$BC=17-AD=17-11=6$$ см
Из точки $$C$$ опустим высоту на $$AD.$$ Получим прямоугольный треугольник со сторонами, равными $$AB=12$$ см, $$AD-BC=11-6=5$$ см и $$CD$$. По теореме Пифагора найдем $$CD=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$ см.
$$P=AB+BC+CD+AD=12+6+13+11=42$$ см.
Ответ: 42.
Задание 23
Обчисліть $$\cos \alpha,$$ якщо $$\sin \alpha=0.8$$ і $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Решение:
Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол во второй четверти, где $$\cos \alpha$$ принимает отрицательные значения. Из основного тригонометрического тождества
$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\sqrt{1-0.64}=-\sqrt{0.36}=-0.6$$
Ответ: $$-0.6.$$
Задание 24
Об’єм куба $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ дорівнює 216 см3 (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди $$D_{1}ACD$$ (у см3).
Решение:
$$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=a\cdot b\cdot c$$ – объем шара, $$a=AD, b=DC, c=D_{1}B$$
$$V_{D_{1}ACD}=\frac{1}{3}SH, S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b, H=c\Rightarrow V_{D_{1}ACD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c=\frac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c$$
$$V_{D_{1}ACD}=\frac{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{6}=\frac{216}{6}=36$$
Ответ: 36.