Основные формулы

Некоторые формулы арифметики

Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Проценты. Бесконечная периодическая десятичная дробь.

Простые и составные числа. Признаки делимости

Простые и составные числа. Таблица простых чисел до 200. Признаки делимости.

НОД и НОК чисел

Этапы нахождения НОД и НОК чисел.

Пропорции. Модуль действительного числа

Пропорции и их свойства. Абсолютная величина, геометрический смысл модуля, свойства.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого шагом или разностью арифметической прогрессии. $$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n},ldots$$ - арифметическая прогрессия. $$a_1$$ - первый член арифметической прогрессии, $$d$$ - разность прогрессии, $$a_n$$ - общий член ($$n$$- й член) арифметической прогрессии, $$S_n$$ - сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии. $$d=a_{2}-a_{1}=ldots=a_{n}-a_{n-1}=ldots$$ $$a_{n}=a_{1}+dcdot (n-1)$$ $$a_{n}=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, ngeqslant 2$$ $$a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=ldots$$ $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+cdots +a_{n}$$ $$S_{n}=frac{a_{1}+a_{n}}{2}cdot n$$ $$S_{n}=frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}cdot n$$ Геометрическая...

Формулы сокращенного умножения

В роли $$a$$ и $$b$$ могут выступать любые выражения. Формулы Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих двух выражений на их сумму: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс квадрат второго плюс удвоенное произведение первого на второе: $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$ Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого плюс квадрат второго минус удвоенное произведение первого на второе: $$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$ Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс куб второго плюс утроенное произведение первого...

Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней: $$a^0=1; left (aneq0 right )$$$$a^1=a$$$$a^xcdot a^y=a^{x+y} ; left (x,yinmathbb{R} right )$$$$frac{a^x}{a^y} =a^{x-y}; left ( x,yinmathbb{R}, aneq0 right )$$$$(a^x)^y=a^{xy}; left ( x,yinmathbb{R} right )$$$$(ab)^x=a^xb^x; left ( xinmathbb{R} right )$$$$left (frac{a}{b} right )^x=frac{a^x}{b^x} ; left ( xinmathbb{R} , bneq0right )$$$$a^{-x}=frac{1}{a^x}; left ( xinmathbb{N} right )$$ Арифметический корень $$n$$- й степени $$left...

Корни квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида: $$ax^2+bx+c=0;(aneq0),$$ где $$x$$ - переменная (неизвестная), $$a,b,c$$ - числовые коэффициенты, стоящие соответственно при второй, первой и нулевой степенях неизвестной. Формулы корней для квадратного уравнения, записанного в общем виде $$ax^2+bx+c=0;(aneq0)$$ - квадратное уравнение. $$D=b^2-4ac$$ - дискриминант. 1) Если дискриминант неотрицательный, т.е. $$Dgeqslant 0,$$ то уравнение имеет два действительных корня (при $$D>0$$ корни разные, а при $$D=0$$ корни совпадают) $$x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{D}}{2a}$$ 2) Если дискриминант отрицательный, т.е. $$D<0,$$ то уравнение действительных корней...

Многочлены

Одночлены. Многочлены. Деление многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочленов на множители.

Логарифмы и их свойства

Определение Число $$c$$ называется логарифмом положительного числа $$b$$ по основанию числа $$a,$$ большего нуля и неравного единице, если $$a$$ в степени $$c$$ равно $$b:$$ $$log_{a}b=cLeftrightarrow a^c=b;(a>0,aneq1,b>0).$$ Обозначения Десятичный логарифм: $$lg b=log_{10}b.$$ Натуральный логарифм: $$ln b=log_{e}b$$ ($$eapprox 2.71$$...). Свойства логарифмов $$a^{log_{a}b}=b;(a>0,aneq1,b>0)$$$$log_{a}(bcdot c)=log_{a}|b|+log_{a}|c|;(a>0,aneq1,bcdot c>0)$$$$log_{a}left (frac{b}{c} right )=log_{a}|b|-log_{a}|c|;left (a>0,aneq1,frac{b}{c}>0 right )$$$$log_{a^{alpha }}b^{beta}=frac{beta}{alpha}log_{|a|}|b|;left (aneq0,|a|neq1,alphaneq0,b^{beta}>0right )$$$$log_{a}b^{alpha}=alphalog_{a}|b|;left (a>0,aneq1,b^{alpha}>0 right )$$$$log_{a}sqrt{b}=frac{1}{n}log_{a}b;left (a>0,aneq1,b>0,nneq0 right )$$$$log_{a^{alpha}}b=frac{1}{alpha}log_{|a|}b;left (aneq0,|a|neq1,b>0,alphaneq0 right )$$$$log_{a}b=log_{a^{alpha}}b^{alpha};(a>0,aneq1,b>0, alphain mathbb{R})$$$$log_{a}a=1;(a>0,aneq1)$$$$log_{a}b=frac{1}{log_{b}a};(a>0,aneq1,b>0,bneq1)$$$$log_{a}1=0;left (a>0,aneq1 right )$$$$log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a};left (a>0,aneq1,b>0, c>0, cneq1 right )$$ Пример: Применение...