Углы и окружность

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — плоский угол с вершиной в центре окружности (слева на рисунке).

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (справа на рисунке).

Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до $$180^{\circ}.$$

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $$90^{\circ}$$ (прямой угол).

Радианное и градусное измерение углов

Если $$\alpha^{\circ}$$ — величина угла в градусах, а $$\beta$$ — в радианах, то

$$\alpha^{\circ}=\frac{\beta\cdot180^{\circ}}{\pi}, \beta=\frac{\alpha^{\circ}\cdot\pi}{180^{\circ}}$$

Теоремы об углах, связанных с окружностью

Теорема (угол между пересекающимися хордами)

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между секущими)

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между касательными)

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания)

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Теорема (угол между касательной и секущей)

Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг.

Поделиться

Больше материалов

Некоторые формулы арифметики

Среднее арифметическое. Среднее геометрическое. Проценты. Бесконечная периодическая десятичная дробь.

Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Для разных углов: Сумма синусов есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности: $$sin x+sin...

Степенная функция

Степенной функцией называется функция вида $$y=x^{alpha}.$$ Виды графиков степенной функции в зависимости от $$alpha:$$ 1. $$alpha=n$$...

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Множина. Підмножина. Операції. Круги Ейлера-Венна

Множина Множину можна уявити собі як сукупність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці множини —...

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.

Задание 62 (геометрия)

Площадь треугольника $$ABC$$ равна 4. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника $$ABC$$.

26 задание пробного ЗНО 2015

Решение 26 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

24 задание пробного ЗНО 2015

Решение 24 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

23 задание пробного ЗНО 2015

Решение 23 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

33 задание ЗНО 2014

Решение 33 тестового задания ЗНО 2014 по математике..

31 задание ЗНО 2014

Решение 31 задания ЗНО 2014 по математике..

Задание №26 ЗНО 2014

Решение 26 задания ЗНО 2014 по математике..

23 задание ЗНО 2014

Решение 23 задания ЗНО 2014 по математике..